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MATH-H-202 Analyse numérique

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MATH-H-202 - 22 Jun 2010

1ière question:
y''+2xy'+(x²-1)y=1
y(0)=0
y(5)=1
J'ai utilisé la méthode des différences finies.
Montrer que votre fonction trouvée y(x) converge bien en augmentant progressivement le nombre d'intervalles de subdivision (commencer avec N=5, puis augmenter jusque vers 2000. Pas plus car l'ordi risque de prendre du temps). Attention faites en sorte de faire varier N devant le prof en commencant avec une petite valeur, car si il vous surprend de tester votre programme avec un N grand, le prof risque de penser que vous ne tester pas correctement votre programme.
2ième quesion:
Trouver les racines positives d'une fonction du type:
y(x)=cos(x)exp(x)/z(x)
N'oubliez pas d'utiliser "."pour les multiplications et les divisions point par point, si non votre fonction foire.
Conseil général: allez le plus vite possible pour faire votre programme, car il enlève des points si vous prenez du temps, même si c'est dû à une erreur que vous devez trouver vous même. J'ai passé la majorité du temps de mon exam à trouver l'erreur dans mon programme parce que le prof ne voulait pas jeter un oeil dessus et me dire où était l'erreur (Ab au lieu de bA).

MATH-H-202 - 22 Jun 2010

1ere question: problème et conditions aux limites
du type (au coefficient près) y''+4y'+4xy=x+1
il demande direct quelle méthode on va appliquer => différences finies (à mon avis il préfère qu'on choisisse les tirs au but) mon programme n'a jamais fait convergé (mais la méthode est applicable), il m'a demandé si je connaissait une autre méthode => je lui dit en gros le principe des tirs au buts mais j'étais incapable de l'appliquer
2eme question: intégrale de (0->a) de x*(sin(x))^2 =0.635 (ou un chiffre du genre 😉 )=> trouver a
j'applique la méthode des rectangles pour calculer l'intégrale (équivalent aux trapèzes mais on approxime l'intégrale par des rectangles)
example de code:
f=inline('x*(sin(x))^2 =0.635');
a=0; %abscisse courante (départ à 0)
h=0.001; %écart entre les rectangles;
sum=0;
while sum<0.635
sum=sum+h*f(a);%on somme les aires successives des rectangles
a=a+h;
end
a %affichage de la borne finale
bonne chance aux suivants 😉

MATH-H-202 - 21 Jun 2010

y''-2xy'+3*(x^2)y=sin(x)
y(0)= -1
y(2)= 0
mouais... c un peu la mm quest que les précédentes... (diff finies)
Ensuite pourquoi la courbe est juste (prendre N petit, ensuite l'augmenter progressivement et constater que la courbe tend bien vers une autre courbe j'usqu'à la confondre)
+ vérifier par la rép analytique de l'équadiff que l'on obtient bien les conditions aux limites... (= bonus)

MATH-H-202 - 18 Jun 2010

1ere et seule question : Résoudre l'équadiff aux CL
y''+2xy'+(x²-1)y=x
y(0)=0
y(5)=1
J'ai appliqué la méthode du tir au but. Je pense qu'il a apprécié pcq bcp d'étudiants préfèrent appliquer la méthode des différences finies. J'ai dessiné les 3 courbes en couleurs différentes en mettant des "pause" et montré la convergence vers 1 de la 3e courbe en zoomant sur le graphique. Ca lui a suffit. Je passe de 9 à 14.
Si la programmation ne vous fait pas trop peur, n'hésitez pas à passer l'oral de rattrapage même avec un 10. Ce sont des points assez facilement gagnés.

MATH-H-202 - 17 Jun 2010

1ère question et seule question :
y''+2xy'-(x²+6)y=sinx
y(0)=1;
y(5)=-1;
Voilà il m'a demandé de résoudre ça (différences finies). Ensuite pourquoi ma courbe était juste. Il suffit de prendre différents N et de voir que plus celui-ci est grand plus les courbes convergent vers la même courbe (elles se superposent).
Il m'a demandé d'adapter mon algo à un autre problème (histoire de voir que j'avais un minimum calé ce qu'il fallait coder).
Puis il m'a dit c'est bon et voilà. Si vous avez un bon formulaire et que vous gérez bien les TP's il n'y aura aucun problème.

MATH-H-202 - 16 Jun 2010

1ère question :
x^2y''+2xy'-(x^2+6)y=0
y(0) = 0
y(5)=7.71632535
(j fais méthode des différences finies)
2ème question :
Calculer les zéros positifs de y(x)=1-5*sin(x)*log(x-2)/x
==> (j tracé le graphe et fais la dichotomie pour les 2 racines)
attention : il demande a chaque fois le gros principe de la méthode utilisée, si elle est précise et comment on pourrait l'améliorer...
ps : j'avais eu 5 en janvier, après ces deux questions il m'a dit c bon vous pouvez y aller je vous metterez 10....

MATH-H-202 - 18 Jun 2009

Je suis passée lundi passé à l'oral de rattrapage qui est maintenant pendant la session de juin.
Il ne m'a posé qu'une question : trouver les racines supérieures en valeur absolue à 1 de l'équation x= cos(3"x) + x³ / 3
J'ai d'abordfait un plot pour trouver les racines avec le zoom
et puis j'ai utiliser la méthode de dichotomie pour les trois racines.
il m'a posé comme sous questions : quel est le nombre d'itération qu'il faut faire pour etre sur d'atteindre la précision 1. e-7 ? --> la il faut utiliser la formule avec les les log et les 2 exposant n

MATH-H-202 - 1 Sep 2005

Question 1 :
trouver la racine (entre 3.9 et 4) de x = 1-4sin(x) avec 10 chiffres exacts en utilisant une de ces 3 méthodes:
- Dichotomie
- Point fixe
- Sécante
Expliquer le choix de la méthode et estimez la vitesse de convergence.
Question 2 :
Problème de Cauchy: y'(x)= 1 - y(x)/(2+sin(x)) ; y(0)=0 avec 0 j'ai utilisé la sécante (au feeling) puis j'lui ai expliqué tout connement que pour la dichotomie, fallait que f(a).f(b)<0... et que pour le point fixe, fallait que g'(x)<1 pour que ca converge...
Question 2 => j'ai fait Heun puis j'ai fait Euler explicite pour vérifier, j'lui ai montré un graphique avec des couleurs... au 2ème coup j'ai obtenu le bon graphe.
Question 3 => comme j'étais pas chaud du tout pour faire les puissances, il a eu la surprise de voir que j'ai tapé le programme du jacobi cyclique que j'avais mis 1h à comprendre... Il m'a dit qu'il en avait rien à kicker du jacobi, mais il m'a pas laissé le temps de faire les puissances... Il m'a dit de m'en aller avec un 13.

MATH-H-202 - 29 Jun 2005

1. Résoudrede manière approchée le probème de Cauchy
y'(x)-(x²-1).y(x)=x.tg(x)
y(-1)=0
sur l'intervalle[-1,1]
2.calculer les zéros de 1-2xcosx compris entre -5 et 1 avec 10 chiffres exacts par la méthode du point fixe
3.Résoudre au sens des moindres carrés Ax=b
A=[-1,0,2,2;2,1,-4,2;3,-5,7,0;-6,4,3,5;2,-3,-1,9]
b=[1;-2;6;1;3]
x=[x1,x2;x3;x4;0]

MATH-H-202 - 27 Jun 2005

Mêmes questions que Kim, Laurent, Rémy,...
Le problème de Cauchy, je l'ai résolu par Heun.
Le deuxième exerice, au départ je ne trouvais qu'une seule des 3 racines car ma fonction g ne remplissait pas la condition |g'(r)|<1 pour les 2 autres, alors je l'ai modifiée, ça marchait et il était content.
La dernière, avec les moindres carrés, il m'a dit que je pouvais la faire si je voulais encore augmenter ma cote, mais comme il faisait déjà passer mon 8 à 13, et que je ne maitrisais pas spécialement le truc, j'en suis restée là.

MATH-H-202 - 17 Jun 2005

1) integrale de x*sin(x) de -1 à 1 par simpson (verifier avec la fct quad de matlab)
2) trouver les zeros de la fct 1-x*sin(x) sur [-7,7] (je crois)
3) cholesky
j'ai juste fait la 1 et la 3... il a dit que c'etait ok...et a transformé mon 11 en 14 ^^

MATH-H-202 - 14 Jun 2005

moi je suis passée ce matin aussi, mais j'ai pas eu les mêmes questions!
donc les voici:
1)calculez une approximation de: intégrale de -1 à 1 de x*sinx dx avec une erreur relative inférieure à 10-6
je lui ai mis la méthode des trapèzes et il était content
2)calculez le plus petit zéro de x^2-21*sinx par la méthode du point fixe
donc la normal jai fait le graphe, trouvé le zéro puis essayé d'appliquer la méthode mais ça convergeait pas donc je lui ai expliqué que la norme de g' n'était pas inférieure à 1 en ce point
3)résoudre le système ci-dessous par la méthode de Gausse-Seidel:
(11 0 -5 2 (x1 (4
0 -1 4 0 x2 10
-5 6 0 -1 x3 3
2 -2 0 5) x4)= 18)
voilà pas bien compliqué non plus
finalement mes 3 programmes marchaient bien a part l'une ou l'autre faute de syntaxe et il a remonté mon 6 en 10!
juste une petite remarque, j'avais d'abord essayé de toucher un peu à tous les programmes puis de les peaufiner et il m'a dit que c'était mieux d'essayer de les résoudre complètement les 1 à la suite des autres
mais bon comme ça quand il est passé chez moi à la fin j'avais tout fini

MATH-H-202 - 14 Jun 2005

Idem... Même question ke Kim. Et j'ai eu 12/20 en répondant aux deux premieres questions. Il m'a juste demandé pourquoi je ne trouvais pas deux zéros par la méthode du point fixe ... la réponse est simple: g'(r)<1 n'est pas satisfait. Facilement quoi 😉

MATH-H-202 - 14 Jun 2005

il est sympa, j'ai eu 13 aussi... j'ai eu les meme questions que kim.
Je pense qu'il donne facilement 12 ou 13/20 (j'avais juste un programme qui fonctionnait sur les trois)mais que pour avoir plus, il faut vraiment assurer.

MATH-H-202 - 14 Jun 2005

Voilà, il est tout sympa. J'ai eu 13/20 avec 2 jours d'étude donc y a plus que moyen (quand je dis deux jours... c'est clairement et nettement moins de 8h/jour)
Bref, voici les questions..
1) une equa diff (probleme de Cauchy)
y'(x)-(x²-1)*y(x)=x*cos(x)
y(-1)=0
sur l'intervalle [-1,1]
J'ai résolu par Heun, j'ai fait un joli graphe et c'était bon.
2) Calculer les zeros de la fonction de 1-2*x*cosx compris entre -5 et 1 avec dix chiffres exacts par la méthode itérative du point fixe.
J'ai résolu le problème, mais comme je lui avais montré la question 1 et 3.
Il s'en foutait de voir ma question 2...
3) Résoudre le système au sens des moindres carrés
Ax=b
A=[-1 0 2 2; 2 1 -4 2; 3 -5 7 0; -6 4 3 5; 2 -3 -1 9]
b=[ 1; -2; 6; 1; 3]
C'est tout!!

MATH-H-202 - 26 Jun 2004

bon... c t le dernier jour d'exam pour cette première sess' mais on sait jamais que ça puisse servir à l'avenir...
g eu :
1/problème de cauchy : y'-2cosx = x*tgx
g résolu avec euler explicite (le plus facile à mes yeux)
2/trouver les racines de 1-2x*cosx=0 entre -5 et 1 avec la méthode itérative du point fixe. Il y avait 3 racines mais pas moyen de trouver 2 dentre elles !! pourquoi?? tout simplement parce qu'avec cette méthode, g'>1 pour ces 2 racines
3/ résolution d'un système avec méthode des moindres carrés
A x = b
avec A = matrix 5x1
x= [x1 x2 x3 x4 x5]'
b= [b1 b2 b3 b4 b5]'
(celui-là est trop con!! suffit de retaper les 4 eqn de la méthode...)
un prof incroyablement sympa et des points en conséquence si on sait utiliser les formules de son formulaire^^
encore une précision, l'oral compte pour 50% si on le passe...

MATH-H-202 - 24 Jun 2004

4 questions (pas de panique faut repondre qu'a 3 aux choix)
1.simpson + evaluez l'erreur
question:pq n est pair? rep un truc style on considere n pair et c à partir de ça qu'on a mis au point la methode.
j'avais pas mis la formule de l'erreur ds mon formulaire, il m'a dit que je pouvais regarder ds le cours. pr la calculer il faut connaitre la dérivé 4eme il y a surement un truc ds matlab pr le faire. moi g calculé à la main et g retapé ds matalb. g pas eu le temps de tout tapé pcq c super long la derivé 4eme. et il m'a dit qu'il voyait que je pouvais me debrouiller donc il a dit que c t bon pour la question.
2.trouver une racine
g utilisé newton et il m'a demandé si c t une convergence quadratique, linéaire et de définir la vitesse de convergence
3.un truc avec le simplexe
ça avait pas l'air super compliqué ms g passé
truc de camions ou il faut minimiser la distance
4.methode des moindres carrés
g retapé tout cholesky et les back-substitution.
on peut utilisé les procedures matlab c bcp plus rapide. ms bon je me suis dis que comme je connaissais autant les mettre.

MATH-H-202 - 22 Jun 2004

Intégrale de -1 à 1 de x*sin(x) par la méthode de Simpson
Tous les zéros de x*sin(x) entre -7 et 7
Factorisation d'une matrice par la méthode de Cholesky

MATH-H-202 - 21 Jun 2004

Résoudre un problème de Cauchy (je me souviens pas de l'enonce du probleme)
Méthode du point fixe: 1-2xcosx entre -5 et 1; attention, la méthode ne converge pas toujours
Moindre carre

MATH-H-202 - 2 Sep 2003

intégrale de x*sin(x) de -1à1
plus petite racine de x^2-21*sin(x) par méthode du pt fix. attention la valeur absolue de la pente aux alentours de la racine est <1 donc il faut faire un truc que je ne connais pas avec la fonction g(x) pour empêcher que sa diverge
résolution de syst par gauss-seidel

MATH-H-202 - 1 Sep 2003

Meme chose que pour Laurence: integral x*sin(x) par sompson, les zeros dex*sin (x) de -7 à 7( la bonne méthode est Newton), puis cholesky, savoir quand matrice A est définie positive
(dépend des éléments diaganaux de D où A=U'*D*U.
Bonnes chances

MATH-H-202 - 31 Aug 2003

Romberg
Newton (ou autre méthode pour trouver un zéro)
Jacobi pour trouver les valeurs du vecteur inconnues X
(Attention, la matrice ne remplit pas les conditions demandées, il n'y a donc pas moyen d'appliquer la méthode)

MATH-H-202 - 31 Aug 2003

1. simpson intégrale de -1 à 1 de x*sin(x)
2. les zero de x*sin(x)
ensuite petite coupure de courant (hihihihi)
3. cholesky

MATH-H-202 - 19 Jun 2003

Meme impression que viktor je suis allé a cet examen en misant sur sa réputation de nounours ... en effet il est tres gentil et je pense que ca doit etre difficile de sortir avec moins de 8 sur 20 mais par contre pour depasser les douzes ca ma l'air plus dure ... mes 2 premeirs exercice marchait parfaitement j'ai pas su super bien repondre a ses questions il a peine regardé mon exercice 3 ma dit que ct pas ca qu'il attendait et ma mit 11 ... c'est pas encore trop mechant comme cotation mais c surement pas gentil ...

MATH-H-202 - 19 Jun 2003

Pour les questions d'aujourdhui, Fab les a déjà postés; mais il faudrait peut-être préciser un petit truc. Il y des gens qui voudraient en être informés, d'autres pas (de toute façon je crois qu'il n'y a plus tellement de monde qui doit passer), en tout cas j'aimerais remarquer que Tolley n'est pas aussi gentil que tout le monde a l'air de croire. Je suis d'accord qu'il n'est pas cassant, mais il ne tient pas sa réputation du pépé sympa qui aide et qui n'est pas avare avec les points.
Ca vient peut-être du fait que la vitesse compte pour lui, mais il n'a même pas voulu examiner le dernier exercice d'un gars, et pour moi aussi ,quand j'étais bloqué aux équations de départ pour le simplexe, il n'a pas voulu que je continue, et m'a viré sec.
En tout cas, il ne faut pas avoir peur, mais ne faites pas la mise sur sa gentillesse, et apparemment, il ne faut pas trop traîner non plus.
V+

MATH-H-202 - 19 Jun 2003

Résoudre 3 des 4 problèmes ci-dessous
1)Calculer une valeur approchée de I avec une erreur relaative inférieure à 10-3. Utiliser la méthode de Simpson.
I=int(de 0 à pi/4) x*e(x)+2
Il faut faire apparaître l'erreur pour être sur qu'elle soit inférieure à 10-3
2)Calculer une valeur approchée de la racine de l'équation x=1-tg x qui est la plus proche de 5. Déterminer cette valeur avec au moins 8 chiffres exacts.
3)Une entreprise dispose de 3 dépôts A, B, C où sont garés respectivement 11, 7 et 12 camions. Elle doit dispatcher 13 et 17 camions vers des sous-traitants R et S. les distances (en km) séparant les dépôts des stations sous-traitantes sont données dans le tableau ci-dessous. Comment faut-il répartir les camions pour minimiser la distance totale qu'ils devront parcourir?
A B C
R 5 4 9
S 7 8 10
4)Résoudre le syst alg ci-dessous au sens des moindres carrés. Justifiez le choix de cette méthode
x-y+0=2
2x+2y-z=1
-3x+4y+3z=7
6x-y+2z=2
-x+0+z=4

MATH-H-202 - 14 Jun 2003

Bouh, j'aurais bien voulu avoir tes questions moi...
J'ai eu :
- résoudre l'intégrale de -1 à 1 de x*sinx par la méthode de Romberg
- Trouver la solution de l'équation x^2-21*sin(x) par n'importe quelle méthode mais graphe obligatoire
- Appliquer JAcobi pour trouver les valeurs propres d'une matrice

MATH-H-202 - 13 Jun 2003

calculer l'intégrale de -1 à 1 de sin(x)*x avec Simpson...ne pas oublier que n doit etre pair...ensuite chercher le plus petit zero de x^2-21*sin(x) par la methode du point fixe...faire un graphe avant, il apprecie! et enfin une résolution de gauss...il est sympa. Si tu bloques, il t aide.
Bonne merde...

MATH-H-202 - 27 Apr 2011

Juste pour vous prévenir que le prof n'avait pas l'air d'apprécier les formulaires avec des programmes entièrement écris!
Il pose des petites questions en plus par rapport aux 3 grandes questions,du genre vérifier les résultats grace aux procédés matlab(quad)ou des trucs de précisions,..

MATH-H-202 - 6 Jun 2003

1° calculer l'intégrale de -1 a 1 de x*sin(x) par la methode de simpson
2° calculer tous les zero de x-sin(x) sur l'intervale -7 a 7
3° cholesky sur un matrice A il verifie en effectuant u'*d*u et
regarde si on obtient bien A

MATH-H-202 - 3 Jun 2003

1. Calculez une valeur approchée de l'intégrale de -1 à 1 de x*sinx par la méthode de Gauss-Legendre à trois points (voir exemple chap 9)
2. x*cosx possède un minimum au voisinage de x=9. Calculez une approximation de ce minimum avec 6 chiffres exact
(conseil: ecrire la dérivée et chercher par une des méthode (Newton , Dichoto ou sécante) le zero de cette fonction)
3. Determiner une valeur approchée de la plus petite valeur propre en module de la matrice suivante: [1 0 -5 2;-5 -1 2 0;2 1 -1 6;5 4 8 11]


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