MATH-H-3001 Signaux et systèmes

AnaComp - 30 Jun 2011

Donner et démontrer la transformée de Fourier d'un produit de convolution, de là il demande comment passer du Fourier à Laplace, ce que représente une région de convergence, pourquoi c'est la partie réelle qui entre en jeu dans le rdc, ... Il a enchaîné ensuite sur les systèmes causal, m'a demandé de calculer y(t) apd H(p) et de u(t) = sin (3t) ...
En pratique j'ai eu a définir une intégrale sur un chemin élémentaire, appliquer à un cas pratique (chemin liant en segment de droite 0 et -1+i de f(z) = x+y²+i(xy3) ) ... Il enchaîne ensuie avec un calcul de résidu et parler de l'unicité de la série de Laurent ...
Bonne chance aux derniers !
Jawad

questions 16 en théorie et 4 en exercice - 30 Jun 2011

Bonjour à tous!
Pour la question de théorie, j'ai dû démontrer que la transformée de Laplace du produit de convolution de s(t) et q(t) valait le produit de S(p) et de Q(p), ainsi que parler de la région de convergence de ce produit en fonction des conditions qu'il donne. Ensuite il a enchaîné sur stabilité d'un système, permanence,...
Pour mon exercice, j'avais l'intégrale de contour de f(z) = 1/((z²+4)*(z²+1)) à calculer, d'abord sur |z|=1/2 puis sur |z-1|=2. Ca fait zéro dans les deux cas, la première fois par le théorème de Cauchy-Goursat et la seconde parce que les résidus sont opposés. Faites attention aux pôles qui sont dans le contour et à ceux qui ne le sont pas et qui sont donc à ignorer! Ensuite il a enchaîné sur définition d'une fonction analytique, série de Laurent,...
Bonne chance!

Oral Anacomp Juin 11 - 26 Jun 2011

Bonsoir, voici les questions que j'ai eues :
0) N'ayez pas peur de Monsieur Kinnaert, il est vraiment bien : il ne va pas du tout vous mettre la pression, si vous calez il va vous aiguiller pour vous permettre de retomber sur vos pattes. Après on dit qu'il ne donne pas de points facilement, mais je pense qu'il est juste. Si vous ne comprenez rien à ce que vous faites alors ça va pas le faire. Mais si vous lui prouver que vous savez de quoi vous parler, alors il sera plus que correct avec vous.
1) Démontrer la 1ère formule de Cauchy en spécifiant bien les hypothèses sur f(z), C et z0. Je vous conseille d'être clairs et structurés dans votre démo, de ne pas hésiter à faire un ou deux schémas pour représenter un peu la situation.
Ensuite il a supposé que j'avais une fonction f(z) avec 3 pôles qu'il représente schématiquement. Le pôle z1 est d'ordre m. Il demande d'écrire l'allure qu'aurait un développement en série de Laurent autour du pôle z1 (représenté). J'ai mis la formule théorique, puis il m'a demandé ce que je pouvais déduire de l'ordre du pôle dans la série : donc pour ma partie polaire j'avais mis [Somme pour n>=0], mais comme le pôle est d'ordre m, on peut écrire [Somme pour n=0 jusque m], par définition d'un pôle d'ordre m avec la SL : les bn sont tels que n>m sont nuls.
Ensuite il m'a demandé quel serait le rayon de convergence de cette série. C'est donc le rayon du plus grand cercle qui entoure z1. Et ce rayon est tel que le contour ainsi défini ne va englober un autre pôle. Il demande d'écrire l'équation du cercle de convergence : 0 < |z-z1| < |z1-z2| (= distance entre le pôle considéré et le prochain pôle). Il faut que vous compreniez la signification du 0. La série de Laurent est définie dans un anneau, c'est ce que traduit le 0 : on a un anneau dont le cercle intérieur est infiniment mince et se résume au pôle z1 lui-même.
Vraiment, pour bien montrer que vous avez compris, faites des petits schémas au tableau. De plus, comme là c'est un peu des réponses du tac au tac, n'hésitez pas à expliquer ce que vous avancez, et réfléchissez en même temps. Par exemple pour le cercle de convergence, j'ai commencé par dire que f doit être analytique dedans, donc qu'il ne peut contenir de pôle, donc on doit s'arrêter au pôle suivant. Ça vous permet de gagner 30 sec de réflexion pour être sûr de vous et aussi de lui prouver que vous comprenez ce que vous faites.
2) J'avais une fonction y(t) représentée graphiquement par une fonction en créneaux pour les t positifs et nulle pour les t négatifs. Notez que la fonction est causale. Je devais en calculer la transformée de Laplace. Il faut utiliser les propriétés pour ça. Vous calculer la TL pour le premier échelon. Ensuite le deuxième est le même que le premier mais avec un glissement temporel. Vous additionnez les deux pour avoir les deux premiers. Vous en déduisez tout le reste. N'oubliez pas la RDC !!
S'ensuivent : des questions sur les RDC, stabilité d'un système, il donne H(p), il demande si le système est stable (ssi on a Re(p) des pôles < 0), comment on peut déduire la réponse indicielle ? Peut-on avoir une valeur de y(t) quand t->inf ? (Attention aux hypothèses des thm de la valeur initiale et finale). Puis il donne un u(t) = A sin(wt+phi), il demande quelle sortie on aura. y(t) = |H(iw)|.A.sin(wt+phi+Arg(H(iw)). On obtient H(iw) en remplaçant p par iw dans H(p) (connaître les hypothèses qui nous permettent ce changement (je pense que c'est parce que le système est stable)).
Voilà voilà, bonne suite et chance à tous les suivants !
SB

Analyse complexe - 25 Jun 2011

1ere question : il donne S(z)=somme de An(z-zo)^n et il faut démontrer que S'(z)=nAn(z-zo)^n-1
C'est une démo du cours, dans les séries de puissance. Mais celle la je la connaissais pas ...donc j'ai galéré blindé, il a du me tirer les vers du nez, il me posait plein de questions pour voir si je connaissais le cours et à la fois pour m'aider à faire cette démo. A force de poser des questions, il a dévié sur les séries de Laurent, la définition du résidu, ... au final j'ai pas fait la démo mais il a vu que je connaissais pas trop mal le cours.
2eme question: il donne trois sorties y(t), et il faut déterminer si le système est linéaire, permanent et stable pour chacune de ces sorties. Il faut bien redéfinir chacune de ces notions (être précis pour la stabilité ! il faut bien dire que le fait que la réponse impulsionnel est une fonction absolument sommable est une CNS de stabilité). C'était pas trop dur mais j'ai fait quelques bêtes fautes de calcul (que j'ai su à chaque fois corriger, heureusement)
et pour finir il m'a donne une transmittance isochrone, il m'a demandé si je pouvais dire juste en la regardant si le systeme était stable, mais j'en savais rien, j'ai dit qu'on pouvais calculer la réponse impulsionnel en calculant la transformée inverse de Laplace (vu que la transmittance isochrone c'est la transformée de Laplace de la réponse impulsionnel), il m'a dit que ça serait un peu compliqué à faire ... mais pourquoi pas, donc je me suis lancé dans le calcul, mais jme suis planté prq il donnait une région de convergence tel que on pouvait pas décomposer en fraction simple H(p) en une fonction causale et une fonction anticausale (une des deux fonctions était nulle).
Bon au final il m'a dit qu'il me mettrait 10 ou 11. Il est plutot sympa, il cherche pas du tout à enfoncer ou quoi. Mais faut pas être pressé ! je suis rentré à 10h et sorti à 12h50 :p

Primitive et linéarité/permanence/stabilité - 24 Jun 2011

Salut,
1ere question : la démonstration que F(z) est la primitive de f(z) --> en gros, la démo à retapper comme dans le cours. Bien expliquer la continuité de |f(s)-f(z)|. Pas grand chose d'autre à rajouter.
Puis, il enchaîne avec : calcule la primitive de 1/z. Tellement eu l'habitude depuis les humanités de dire
ln z mais c'était Log z = ln |z| +i Arg z. Est-elle définie partout ? Log -1 existe-t-il ? Là, j'ai dit non encore une fois sans réfléchir... Il m'a demandé de représenter l'argument de -1 dans le plan complexe. J'ai dit de la merde à cette question hyper basique... Si ça avait été Haeltherman, il m'aurait sûrement sorti : "Bon, je pense qu'on peut arrêter là". Bref, pas top cette question.
2e question : les systèmes suivants sont-ils linéaires ? permanents ? stables ?
1) y(t) = 5t.u(t)
2) y(t) = sin(t).u(t)
3) y(t) = intégrale de -infini à t de (u(tau)exp(3(t-tau))dtau)
J'ai dit de la grosse merde sur la stabilité, je savais plus trop comment on la calculait et j'ai considéré que
h(t) était le coefficient de u(t) --> grosse erreur --> ça m'a achevé
Il m'a dit que j'ai raté l'examen mais que c'était pas une cata non plus donc disons un 8.
En gros, examen bien faisable mais faut savoir répondre à ses questions de base.

Analyse complexe fiche 20 et 7 - 24 Jun 2011

Fiche 20:
Soit un SLP. Déterminer y(t) en fonction de u(t) et h(t) (produit de convolution donc, retaper ça sous forme intégrale). Démontrer la relation entre Y(p) et H(p) et U(p) et déterminer sa RDC -> faire la TL inverse de y(t), donc d'un produit de convolution, et faire l'hypothèse que le système est causal, donc la RDC de Y(p) = max(a1, a2) où a1 et a2 déterminent respectivement la RDC de H et de p (Re[p] < a1 pour H, Re[p] < a2 pour U).
Ensuite il pose quelques questions typiques: c'est quoi un système causal ? (-> il faut h(t) = 0 pour t < 0, donc le système ne dépend que des moments antérieurs). Quelles sont les conditions pour que le système soit stable ? (axe imaginaire dans la RDC) Qu'est-ce que ça représente physiquement ? (entrée bornée -> sortie bornée) Est-ce que H(iw) existe tout le temps ? (non, elle existe à condition que l'axe imaginaire soit dans la RDC, car on remplace p par iw)
Après il donne un truc H(p) = e^-2p/p+1 et il faut déterminer la réponse de ce système à une entrée u(t) = sin(2t). Puis déterminer réponse indicielle du système (sa TL plutôt), et comment est-ce qu'on pourrait calculer la valeur finale de cette réponse indicielle ? (théorème de la valeur finale)
Fiche 7:
Vérifier le principe de l'argument pour les fonctions suivantes:
a) f(z) = 1/z^3, C: |z| = 1
b) f(z) = 2(z+1), C: |z-3| = 2
On applique simplement le principe de l'argument dans les deux cas (a -> T = -3 car z=0 est un pôle de multiplicité 3, b -> T = 0 car le zéro n'est pas compris dans C).
On vérifie ces résultats en calculant l'image de C par z:
a) z = e^i*theta -> w = f(z) = e^(-3i*theta) -> Trois tours dans le sens négatif -> T = 3
b) u = z-3, u = 2e^itheta -> w = f(u) = 4e^itheta+8 -> aucun encerclement
Ensuite il demande quelles sont les conditions sur f(z) (analytique sur et à l'intérieur de C sauf à ses pôles, ne s'annule pas sur C sinon le chemin passerait pas l'origine et du coup c'est la misère pour calculer les encerclements), et les habituelles questions du genre « C'est quoi une fonction analytique ? » etc.

Fiche 5 et 20 - 24 Jun 2011

Fiche 5 : Calculer l'intégrale sur C de dz/(z-(i/2)) sur les domaines : C1 : |z|=1 et C2 : |z-1|=(1/2)
Et puis calculer l'intégrale de dz/z³ sur C1 et C2.
Méthode au choix : Cauchy-Goursat pour celle ou f est analytique->=0, et puis résidus par ex. (expliquer ce qu'est un résidu,...). pour la premiere on peut aussi appliquer Cauchy 1 en voyant que l'intégrale = 2*pi*i f(z0), et pour la deuxième intégrale paramétriser par exemple : z=e(i*théta) ... bref on tombe sur le meme resultat. Pour la deuximème intégrale, on peut voir direct qu'elle vaut 0. En effet, 1/z³ est son propre developpement de Laurent ou il n'y a pas de terme en 1/Z donc l'intégrale vaut 0.
Fiche 20: Soit un SLP, avec y(t), u(t) et h(t). Ecrire la relation entre ces termes. Supposons que Y(p), H(p), U(p) soient les transfo de Laplace de y, u et h, donner la relation entre U,H et Y. (+Démo) donner les RDC liées.
y(t)=u(t)*h(t) = integrale de... (définition). Puis Y(p)=H(p).U(p) (transfo de Laplace d'une convolution = produit) à démontrer, Puis quelques questions autour des SLP, entrée sinusoidale,...
Courage aux suivants...

Analyse complexe - 24 Jun 2011

premiere question: soit f un fct analytique sur un contour admissible .... C et possede un zero z0 de multiplicite a demontrer que
integrale de f'/f=2i pi a
la demo : puisque z0 est un zero alors f=(z-z0)^a * g(z) avec g analytique et toutes les proprietes sur g ( cf definition d un zero)
puis calculer f' et donc f'/f = a/(z-z0) + g'/g et pusique g'/g analytique corollaire de la formule (3) de cauchy (parce que c la derivee 2nd qui exige que f' soit analytique ) donc g'/g = somme an (z-z0)^n donc f'/f possede un developpement de laurent et donc par le theoreme des residu + formule de cauchy pour intergale de a dz /(z-z0) on trouve ce quil demande . ( la demo ressemble bcp a celle du principe de l argument ) !!!
2eme question : il donne X(p) = e^-3p/ (p+1)(p+2). est ce que x(t) determine de facon univoque ? non puisque 3 RDC possible et donc apres 3 x(t) possible selon la RDC choisie donc Re p > -1 ou < -2 ou -2 e^-3p X(p) et voila
Il est tres sympas et s il voit que vous connaissez mais que vous bloquez il vous aide un peu sans grande penalisation !
enjoy 😛

Analyse complexe - 24 Jun 2011

premiere question: soit f un fct analytique sur un contour admissible .... C et possede un zero z0 de multiplicite a demontrer que
integrale de f'/f=2i pi a
la demo : puisque z0 est un zero alors f=(z-z0)^a * g(z) avec g analytique et toutes les proprietes sur g ( cf definition d un zero)
puis calculer f' et donc f'/f = a/(z-z0) + g'/g et pusique g'/g analytique corollaire de la formule (3) de cauchy (parce que c la derivee 2nd qui exige que f' soit analytique ) donc g'/g = somme an (z-z0)^n donc f'/f possede un developpement de laurent et donc par le theoreme des residu + formule de cauchy pour intergale de a dz /(z-z0) on trouve ce quil demande .
2eme question : il donne X(p) = e^-3p/ (p+1)(p+2). est ce que x(t) determine de facon univoque ? non puisque 3 RDC possible et donc apres 3 x(t) possible selon la RDC choisie donc Re p > -1 ou < -2 ou -2 e^-3p X(p) et voila
Il est tres sympas et s il voit que vous connaissez mais que vous bloquez il vous aide un peu sans grande penalisation !
enjoy 😛

ANA COMPLEXE : theoreme 7 + trouver un Y(iw) a partir d'un y(t)=a(t)*x(t) et X(iw) - 24 Jun 2011

premiere question : demontrer le theoreme 7. donc f(z)=phi(z)/(z-z0)^m , avec phi(z) analytique, le pole d'ordre m en z0 et le residu qui vaut blablabla, vous voyez de quoi je parle.
apres l'avoir demontrer, il demande d'en deduire le residus de (z+i)/(3z+2). ensuite il te cuisine un peu sur le sujet, "quel est le domaine ou phi est analytique? ca veut dire quoi analytique? sur quel domaine l'est f? quels sont les criteres pour dire qu'une fonction d'une variable complexe est dérivable? etc." en gros il verifie que tu sais a peu pres tout sur ce sujet precis.
deuxieme question : on a y(t)= ( cos(t/2)+5cos(2t) )*x(t), on nous fourni la representation graphique de X(iw) et on nous demande de faire une "esquisse" du graphe de Y(iw) a partir de ca.
attention! je n'etais pas calé sur la question ce qui fait que jme suis fierement lancé dans la transformée de fourier du produit des deux fonctions x(t) et celle en cos(t) , jai fais plein de calculs "savant" pour au final trouver un truc totalement faux...pourquoi??? LA FONCTION NE VERIFIE PAS LA PREMIERE CONDITION DE DIRICHLET. donc vous faite pas avoir, et faite gaf a ca, si ca verifie pas dirichlet esperer meme pas commencer une transformée ou quoi. j'etais totalement a coté de la plaque.
bon courage pour la fin!

MATH-H-201 - 29 Jun 2010

Pour les générations futures:
1. Demonstration sur les limites (limite partie réelle et imaginaire)
Ensuite il me demande de calculer l'intégrale de: Log (z+3)/(z^3+1), avec un contour de rayon 0.1 centré en -1. Il demande de la résoudre.... (méthode des résidus, ou formule de cauchy). Ensuite il demande ce qu'est un résidu (coeff de 1/z-z0). Comme il est défini par série de laurent, il demande convergence de la série de laurent dans ce cas ci --> Il y a deux autres poles MAIS le log(z+3) n'est pas analytique pour z<-3, d'ou un cercle de convergence de rayon 2.
2.
-SLP avec 2 systemes en parallele, donner la reponse impulsionelle.
- Il donne ensuite l'expression des transmittances pour les 2 systèmes, et demande la pente à l'origine de la réponse indicielle ( theoreme valeur initiale sur la réponse impulsionnelle. Attention de bien vérifier toutes les hypothèses du théorème avant de se lancer)
- La question hyper fréquente: réponse à une entrée sinusoidale
Ensuite il pose des questions sur la stabilité du système, pourquoi l'axe imaginaire doit etre compris dans RDC pour systeme stable etc.
Bref, il est hyper sympa, mets vraiment à l'aise... Par contre, le temps d'attente est horriblement long. Il est utile de déja se préparer mentalement aux autres questions qu'il pourrait poser, car il pose des questions sur l'entièreté du cours...
Bonne merde!

MATH-H-201 - 24 Jun 2010

1) démontrer que f(z) analytique en z0 implique f '(z) analytique en z0.
J'ai écrit les 3 premières formules de Cauchy. A partir de la 3e (f ''(z0) = ...) j'ai dit que comme f(z) est analytique en z0 (par hypothèse) on voit (car l'intégrale existe) que f ''(z0) existe en tt pt d'un voisinage de z0
-> il existe un voisinage de z0 dans lequel f '(z) est dérivable en tt pt z. Or, c'est la définition d'une fct analytique en z0 appliquée à la fct f '(z) -> f '(z) analytique en z0.
Je lui ai demandé avant de commencer s'il fallait démontrer les formules de Cauchy, il m'a dit que je pouvais parler du principe de la démonstration (avec schéma!) pour la 1ere formule de Cauchy (je l'ai entièrement démontrée).
Ensuite il a écrit une intégrale et m'a donné l'équation d'un contour. Il m'a demandé si je pouvais calculer l'intégrale par la formule de Cauchy. Attention : dans le cas présent il y avait 2 pôles dans le contour or la formule de Cauchy est applicable seulement s'il y a 1 pôle dans le contour, la réponse est donc NON. Ensuite j'ai calculé l'intégrale par la méthode des résidus.
Après il m'a posé plusieurs question dont une sur les séries de Laurent (définition résidu, forme série de Laurent autour d'un des pôles de la fonction qu'il m'a donnée, rayon de convergence : plus petite distance entre 2 pôles).
2) Calculer la transformée bilatérale de Laplace d'une fonction en créneaux, y compris région de convergence.
Voici une description de la fct (y(t)) : y(t)=1 pour t compris entre 0 et 1, 0 pour t compris entre 1 et 2, 1 pour t entre 2 et 3, 0 pour ... jusqu'à l'infini.
L'astuce (merci Max !) est d'écrire y(t) sous la forme d'une série en utilisant la fct d'heaviside.
On peut écrire : y(t) = nu(t) - nu(t-1) + nu(t-2) - nu(t-3) + ... = série (k=0 -> +infini) (-1)^k nu(t-k).
On utilise la linéarité de la transfo de laplace pour dire que L(y(t)) = somme (k=0 -> infini) (-1)^k L(nu(t-k)
= somme (k=0 -> infini) (-1)^k exp(-pk)/p
par propriété de glissement dans le temps.
La fct étant causale, la RDC est un demi-plan droit. Comme l'intégrale doit converger on trouve comme RDC pour L(nu(t-k)) : Re(p) > 0 et il en est de même pour la RDC de la série (pour chaque terme on a la même RDC, ne pas oublier qu'un glissement dans le temps n'affecte pas la RDC).
Ensuite il m'a posé des questions : quelle genre de série est-ce : série géométrique (somme (k=0 -> infini) M*rho^k.
Ensuite il m'a donné une fct de transfert H(p) (je ne me souviens plus bien de l'expression) : H(p) = exp(-2p)/(p+a)(p+b). Il pose des question sur h(t) (condition pour un SLP, pour la stabilité) et puis il m'a demandé de calculer h(t) (transfo inverse par la méthode des résidus). Attention, il faut appliquer la formule à 1/(p+a)(p+b) puis appliquer un glissement dans le temps.
Voilà. Je l'ai trouvé sympa.
Un conseil : entraînez-vous bien sur les calculs en utilisant les résidus! J'ai traîné et j'ai eu droit à "essayez de converger plus rapidement!" 🙂

MATH-H-201 - 23 Jun 2010

1) fiche 4
Déterminé le domaine pour lequel Log(z) (détermination principale du log népérien) est analytique.
En déterminé sa dérivée
2) fiche 1
A partir du graphe de X(iw) par rapport à w où X(iw) est la transformée de Fourier de x(t), si y(t) = (cos(t/2)+2cos(5t) ) x(t). Représentez le graphe de Y(iw) transformée de Fourier de y(t)

MATH-H-201 - 22 Jun 2010

1ière partie:
1) Calculer l'intégrale de f(z)=1/(z-i/2) sur deux chemins fermés différents (un entourant le pôle, l'autre pas)
2) Mêmes questions avec f(z)=1/z^3
Questions orales non préparées: comment définis-t'on le résidus (terme b1 dans suite de Laurent), donner la forme d'une série de Laurent, donner les pôles et le rayon de convergence du développement en série de Laurent de la fonction 1/(z^4+16) (utiliser z^4=module(z)^4*exp(i4arg) pour trouver les pôles et dessiner ces pôles pour déterminer le plus grand cercle centré en un des pôles et ne comprenant pas les autres pôles)
2ième partie:
1) Donner y(t) en fonction de u(t) et h(t)
2) Donner Y(p) en fonction de U(p) et H(p) ainsi que sa RÉGION (non rayon) de convergence.
3) Démontrer la dernière expression trouvée (Y=U.H)
Questions orales: -peut-on faire les mêmes raisonnements avec une transformée de Fourier au lieu de la transformée de Laplace bilatérale (réponse: OUI).
- donner transformée de Fourier de exp(t).v(t) où v(t) est la fonction d'heaviside (c'est censé être connu mais vous pouvez toujours la retrouver vous-même, comme je l'ai fait)
- Connaissant H(p)=... et u(t)=..., trouver y(t) en 2 lignes. Je me souviens pas des expressions données, mais à ce qu'il parait elles ont été vues au cours. Il fallait donc connaître l'expression de y(t) sans calculer les intégrales et tout le bazar.
Je vous conseille de maîtriser surtout la deuxième partie du cours, car à ce qu'il parait on en aura besoin l'année prochaine et le prof donne les points en fonction de l'importance de la question pour la suite de nos études.
En effet, j'ai répondu tout à fait juste aux questions à préparer (à écrire au tableau), mais j'ai eu du mal à répondre aux questions orales sur la deuxième partie du cours, ce qui ma valut l'étiquette de "ne maîtrise pas la deuxième partie du cours" donc insuffisant pour la suite et donc entre 10 et 11, car il ne pouvait pas me mettre moins vu que ce que j'avais écrit au tableau était correcte à 100%
Ne vous fiez pas aux apparences, Kinnaert est schmet!! Même si vous répondez globalement juste à ces questions (juste quelques fautes de calcul ou bien difficulté pour répondre à certaines questions orales), il peut vous baiser!

MATH-H-201 - 20 Jun 2010

1°) démontrer que si f(z)=phi(z)/(z-z0)^m (avec phi analytique et non nulle en z0), alors z0 est un pôle d'ordre m. ensuite, démontrer que res(z=z0)=phi (m-1)(z0)/(m-1)
d'abord décomposer phi en série de taylor puis calculer f et analogie avec série Laurent.
ensuite une application du style z/(3z-2)^2 (il suffit de se ramener au cas où on peut appliques la formule développée avant)
puis calcul d'une intégrale sur contour fermé sur Log(z-1)/(z^4-i^2) (avec contour fermé: z-1-i=1/2 => un seul pole => résidus)
2°)transfo Laplace unilatérale => calculer Lu(d3x/dt3) => appliquer sur une équadiff avec CI non nulles (pour changer^^)
comme déjà dit milles fois, il met très à l'aise... personnellement j'étais crevé, j'ai raconté/fait pas mal de merde, c'est pas pour ça qu'il m'a enfoncé, au contraire. enfin faut pas se leurrer non plus, faut maitriser la matière de bout en bout pour le réussir 😉
voilà, bonne chance aux suivants 😉

MATH-H-201 - 19 Jun 2010

Fiche 9 : démo dérivée d’une série de puissance (voir plus bas ce que Jules a écrit à propos de l’indication)
Sous-questions :
-hypothèses pour la formule de Cauchy
-définition d’une fonction analytique en z0
-il donne une fonction avec deux pôles et il faut donner les domaines des séries de Laurent autour d’un des deux pôles
-définition point singulier isolé
Je ne me souviens plus des autres sous-questions, mais c’était pas très difficile, fallait parler des résidus et tout.
Fiche 3 :
Calculer la transformé de Laplace et la région de convergence de la fonction en créneaux causale. (il donne le dessin de la fonction)
Je savais pas du tout comment faire donc j’ai fais un calcul un peu bizarre (j’ai pas utilisé les propriétés de Laplace etc). Il a dit que c’était pas élégant comme démo mais la réponse était bonne. En réalité il fallait utiliser la transformée de Laplace de v(t-1) et la transformée de Laplace de v(t).
Sous-questions :
-définition d’un système causale
-définition réponse impulsionelle
-il donne un H(p) , genre H(p)= exp(-p) /( p+1) , SLP Causal et faut expliquer des trucs genre région de convergence.
-il donne u(t)=3sin2t et il faut calculer y(t), donc il faut utiliser la fameuse formule. Perso j’savais pas trop comment calculer l’argument de H(iw), il m’a un peu aidé mais j’vous conseille de savoir calculer un argument avant d’y aller c’est toujours mieux.
Voila, sinon il a dit que c’était cool quand j’avais avoué que je savais pas un truc (pour une question sur les résidus au début), donc faut utiliser le « je sais pas » comme un joker ça peut être utile !

MATH-H-201 - 19 Jun 2010

Sans m'étaler, je signalerai juste qu'il m'a dit que quand on ne savait pas quelque chose, il ne fallait pas essayer d'inventer mais plutôt ne rien mettre, car l'honnêteté est la première des qualités (sic). Vous en faites ce que vous voulez...

MATH-H-201 - 19 Jun 2010

Première question
_______________
Que vaut L(s(t)*q(t)) si
L(s(t))=S(p) avec alpha+_s<Re(p)<alpha-_s
L(q(t))=Q(p) avec alpha+_q<Re(p)<alpha-_s
et déterminer la région de convergence
==>la démonstration est dans le cours.
J'ai précisé dans un coin du tableau que s(t)*q(t) devait vérifier les conditions de Dirichlet que j'ai énoncées.
Pour la région de convergence, il s'agit de l'intersection de RDC_s et RDC_q, à savoir:
max(alpha-_q,alpha-_s)<Re(p)<min(alpha+_q,alpha+_s)
Il arrive, je lui explique la démo et la RDC
Il pose des questions sur la RDC.
Que se passe-t-il si on remplace p par iw
==>!!! bien comprendre que sigma=0 donc la région de convergence est l'axe sigma=0 dans le plan (sigma,w)
Ecrire la sortie d'un SLP.
==>y(t)=h(t)*u(t) avec h(t) qui est la réponse impulsionnelle (réponse à une impulsion de Dirac) et u(t) qui est l'entrée.
Qu'est-ce qu'un système stable (entrée bornée==>sortie bornée)
D'où sort le fait que pour un système stable, on a l'axe sigma=0 qui doit être dans la RDC?
==> j'étais pas très sûr mais j'ai j'ai écrit que l'int-inf-+inf[|h(t)|dt] < infini et apparemment il était content. Il a dit que c'était une espèce de conséquence de la première condition de Dirichlet.
Question supplémentaire:
soit H(p)=e^-2p/(p+5) (ou un truc du genre, je suis plus sûr de l'expression)
soit l'entrée u(t)=5sin(3t)
Que vaut la sortie du système?
==> sinusoïdale de même pulsation
==>C'est |H(iw0|*5*sin(w0+phi) avec w0=3 dans ce cas-ci et phi qui est l'argument de H(iw0).
Calculer l'argument et le module de H(iw0).
module=1/sqrt(w0²+25)
argument=-2w0-arcctan(w0/5)
Deuxième question
________________
Deux bêtes intégrales a calculer sur 2 contours différents
Les intégrles étaient :
int_C (1/z3)dz et
int_C(1/(z-i/2))dz
Les contours étaient
C1: |z|=1
C2: |z-1|=1/2
Tout d'abord j'ai fait un dessin des contours==> ça sert pour après et je crois qu'il aime bien qu'on explique à l'aide des dessins.
J'ai appliqué les formules de Cauchy sur C1 et Cauchy-Goursat ( car la fonction à intégrer est analytique partout dans C) sur C2 pour les 2 intégrales.
J'ai précisé dans un coin qu'on pouvait aussi appliquer le théorème de Résidus que j'ai énoncé.
Il arrive. Je lui explique tout.
Sur la fin je parle du théorème des résidus d'où sa question:
comment définit-t-on un un résidu=>coefficient de 1/(z-z0) dans le développement en série de Laurent de f(z) autour de z0
Ecrire Laurent d'une fonction
==>f(z)=sum{a_n(z-z0)^n)} + sum{b_n/(z-z0)^n}
J'ai voulu écrire les coefficient bn et an mais il m'a arrêté en disant que ce n'était pas nécessaire.
Dans cette série, à quoi correspond le résidu de f en z0
==>n=1==>b1.
Dans le cas de l'intégrale de 1/z³ n'aurait-t-on pas pu déterminer le résidu directement?
J'ai un peu cafouillé en essayant de chercher d'écrire le dév en série de Laurent de 1/z³.
!!! En fait 1/z³ est DEJA un développement en série de Laurent mais PAS en puissances de 1/z ==> donc on voit que le résidu est nul.
Question supplémentaire
Soit f(z)=e^-2z/(z^4+1).
Quels sont les points singuliers de la fonction?
J'ai dit que z^4+1 devait s'annuler==> on doit calculer les racines 4ièmes de -1
Comment le fait-on?
==>On transforme -1 en écriture d'Euler: -1=e^(i.pi+2kpi)
Les racines sont
e((ipi/4)+(2kpi)/4) avec k=0->3
Il m'a demandé de dessiner les racines dans le plan imaginaire.
==>il s'agit des 4 coins d'un carré de côté sqrt(2) autour de l'origine
Quelle serait la région de convergence d'un développement en série de Laurent de f autour du pôle e(ipi/4)
=>voir sur le dessin qu'il s'agit d'un cercle de rayon sqrt(2) puisque la fonction doit être analytique dans la région (on ne peut pas prendre de pôles).
==> 0<|z-z0|<sqrt(2)
Impression
_________
Il vous met à l'aise directement. Pas la peine de mettre votre plus belle cravate. Il vous dit directement que si vous avez trop chaud vous pouvez l'enlever.
C'est très faisable même pour les personnes qui perdent souvent leurs moyens pour les oraux. Tout le contraire de l'oral de Bogaerts!!
Cependant, j'estime que j'ai eu beaucoup de chance de tomber sur des questions très bateau. D'ailleurs je pense que vaut mieux tomber sur une question théorique en théorie des systèmes (démonstrations moins subtiles) et une question pratique sur l'analyse complexe (souvent des intégrales faciles à calculer).
La chance joue pas mal selon moi mais il faut bien connaitre tous les concept fondamentaux (Résidus, RDC, Dirichlet, système stable,sortie d'une entrée sinusoïdale, fonction analytique,...)
Je crois qu'il apprécie fort les dessins et les approches graphiques.
Bonne chance aux suivants.

MATH-H-201 - 19 Jun 2010

Alors Premiere Question :
Théorie : Démontrer le premier théorème sur les limites !!
Il suffit simplement de retaper la démo du cours et de bien savoir expliquer chaque étape !!
Ensuite il m'a demandé de calculer l'intégrale de
Log(z+4)/z³+1 sur le cercle |z+1/2| = 3/2
Pas très dur, suffit de décomposer z³+1 = (z+1)(z²-z+1)
On s'aperçoit qu'il n'y a qu'un pôle en z = -1, on utilise la première formule de Cauchy ou f(z) = Log(z+4)/(z²-z+1)
qu'on calcule en z = -1, et c'est case !!!
Comme deuxième question :
Fallait énoncer quand un système était stable (il donnait une transmittance isomorphe à fractions rationnelles !! Ensuite fallait utiliser la formule y(t) = A|H(iw0)|cos(w0 + arg(H(iw0))) !! N'oubliez pas de remplacer le w0 !!!
C'était à peu près tout pour ma deuxième question sur laquelle il ne s'est pas trop attardé pcq j''étais dans cette pièce depuis près de 3h, il a avoué m'avoir un peu oublié :p
Courage pour les suivants !!!
Ah oui, essayez d'arriver bien à l'avance !! J'ai eu le malheur d'arriver 5 ième, j'ai attendu 2h avant de pouvoir entrer pour ensuite sortir après 3 heures !!

MATH-H-201 - 18 Jun 2010

1ère question :
Théorie - analyse complexe.
Démontrer le "théorème de la primitive" (F(z) est la primitive de f(z)).
Il faut tout retaper, en justifiant brièvement. Si connaissez bien vos notions d'analyticité, le théorème ML, etc.
+ Une petite intégrale à calculer (une fonction du genre 1/[z^4-1]) par le théorème des résidus (il ne le précise pas mais cela va de soi).
2ème question : Donnez la transformée de Laplace et la RDC Associée d'un signal donné (signal périodique en créneaux).
[Il parait que c'est une question difficile donc je vous explique mon astuce. J'ai exprimé la fonction y en une série de fonctions d'heavyside, puis calculé la transformée en utilisant la formule de glissement dans le temps]
+ Quelques questions faciles sur les transmittances (il en donne une et demande de calculer la sortie d'une entrée sinusoïdale), quand un système est-il causal, les RDC, comment calculer un argument (!) etc.
Au final l'oral est très long, tant dans l'attente que pendant le passage en temps que tel (il s'occupe de 4 étudiants en même temps). Même si la matière est assez grosse, il pose beaucoup de questions sur les notions de base (qu'il faut donc bien connaitre), ce qui permet de retrouver ses marques assez facilement. Il met les étudiants très à l'aise, même si vous dites des conneries. Il met facilement de bonnes notes, même si le niveau des questions selon moi est assez inégal. Il ne jette pas les points à la tête de l'étudiant, il ne faut donc rien négliger dans ce gros cours (même si le nombre de démos a de quoi décourager).

MATH-H-201 - 18 Jun 2010

Voici mes questions:
1ere question:
Demontrez que la derivee d'une serie de puissance est ce qu'elle est. Il suffit de retaper la demo du cours. Il demande aussi quelques hypotheses: notamment z0 (doit etre sur C)
Il enchaine sur des questions classiques dont notamment: P(1/2, z) est-elle analytique partout? La reponse est non: pas sur les reels negatifs a cause du Log. Car P(1/2,z)=exp(1/2Log(z)). Il m'a demande alors si c'etait aussi le cas pour P(2,z): non car dans ce cas, on voit que devant iArg il y a un facteur 2 (donc quand on passe de -pi a pi, on passe de -2pi a 2pi -> pas de discontinuite)
2eme question:
La question avec la transformee de Laplace unilaterale. Donc Lu(d^3x/dt^3) a calculer, puis une equadif. Ensuite il demande: supposons que l'entree ne soit pas nulle, que vaut la valeur asymptotique de s(t) (reponse indicielle)? Il suffit de remplacaer l'entree par Dirac, calculer H(p) puis savoir que H(p)/p = S(p), puis appliquer le theoreme de la valeur finale. Il demande evidemment les conditions d'application du theoreme.
Le prof: il laisse du temps pour reflechir. Que ce soit au debut quand on recoit la fiche ou apres quand il pose des questions (vu qu'il prend des notes, on a le temps de reflechir avant de dire n'importe quoi).
Bonne chance aux suivants

MATH-H-201 - 18 Jun 2010

Je suis arrivé à 8h, rentré à 10h05 et sorti à 12h05 !
1ère question : (théorie – signaux)
Enoncer le théorème de la valeur finale et préciser sous quelles conditions on peut écrire lim?(t?+?)??x(t)? = lim?(??0)???X(?)?. Justifier la réponse.
La question n’était vraiment pas très longue à résoudre et une partie de la réponse était même donnée dans l’énoncé ! Il faut juste préciser les 3 conditions (hypothèse A), dire que l’implication est valable dans les deux sens pour autant que X(p) est une fraction rationnelle telle que le degré du numérateur est inférieur à celui du dénominateur et que ?X(?) doit être analytique pour ??0.
Préciser aussi (il y tient fort) qu’il faut que x(t) soit une fonction causale et que lim?(x?-?)??x(t)? = 0 pour que le théorème soit d’application.
Je lui ait dit tout ça sans parler de la condition sur le nombre fini d’extremas (je l’avais oubliée) mais çà ne l’a pas dérangé. Ensuite il m’a demandé :
Pourquoi est ce que c’est la limite de ?X(?) qui est égale à limite de x et pas juste X(?)
D’inverser X(p) = 1/(p+a)(p+b) sachant que x(t) est une fonction causale
Est-ce que a peut valoir zéro ; et que ce passe-t-il si a =0
Qu’est-ce qu’une fonction causale
Si u(t) = 3cos(2t+a), que vaut y(t) si le X(p) ci-dessus est égal à H(p).
2ème question : (pratique – variables complexes)
Calculer ?_C??1/((z^2+4)(z^2+1)) dz? avec C le contour tel que :
|z| < ½
|z – 1| < 2
Il suffit d’appliquer le théorème des résidus. Le temps se faisant long, j’ai aussi démontré (mais ce n’étais pas demandé et il n’y a même pas fait attention) le théorème des résidus et la formule permettant de calculer un résidu (on a donc plus qu’assez de temps pour répondre à la question).
Il m’a alors demandé de développer f en série de Laurent autour de (z- i) et d’écrire la RDC et de la dessiner.
J’ai donc eu des questions simples mais les sous questions posées l’étaient moins. J’ai un peu cafouiller sur la question sur Laurent et surtout sur la RDC où j’ai répondu à côté, mais « à part quelques petites imprécisions, cela reste bon dans l’ensemble et je pense qu’on est dès lors dans un voisinage de 15 ». C’était quand même très bien payé, comme quoi y’a moyen ! Courage pour les suivants !
Petite précision aussi : quand je suis sortis, 2 personnes qui étaient aussi arrivées à 8h sont rentrés. Ils ont donc du attendre 4 h avant de passer !

MATH-H-201 - 17 Jun 2010

voici mes questions d'oral :
1/fiche 4:
donner le domaine ou la fonction Log z est analytique.
donner la dérivée de Log z dans ce domaine.
D= C sans l'axe réel négatif.
pourquoi ? il faut parler du fait que Log z = log /z/ + i. Arg(z)
et que Arg(z) n'est pas continu (on passe de -pi à pi)
on utilise ensuite les équations de cauchy riemann pour trouver 1/z
ensuite il m'a demandé de calculer:
intégrale de (P(1/2,z))/(z^3 +1))
avec C= /z-1-i/ = 2/3
donc il y a TROIS poles (à calculer avec z^3 = -1 = exp(i pi + 2kpi))
et donc on voit qu'il n'y en a qu'un intérieur au cercle.
et il faut juste expliquer comment on fait avec les résidus.
il faut préciser que Phi(z) doit etre analytique sur C et à l'intérieur !!
or P(1/2,z) n'est pas analytique sur l'axe réel négatif: sauf qu'ici
il n'y a pas d'intersection avec le cercle, donc on est content 😛
2/fiche 7:
dire si les systèmes suivants sont
- linéaires
- permanents
- stables
a) y(t) = 5t u(t)
linéaire
pas permanent
non stable (il m'a dmandé un exemple d'entree qui ne
donnerait pas de sortie bornée: ex: u(t) = constante)
b) y(t) = sin t u(t)
linéaire
non permanent
stable (vu que sin t est borné, si u aussi, alors y aussi)
c) y(t) = intégrale de -infini à t de (u(t) exp(3(t-tau))dtau)
alors la il faut bien voir que
c'est linéaire
permanent
NON stable (exp décroissante en - l'infini !! -> exp(-tau))
et il m'a demandé d'écrire ça sous forme de convolution
ça donne: y(t) = u(t) * exp(3t) v(t)
d) H(p)= 1/(p+1)(p+11) Re z > -1
SLP -> on pose que c'est linéaire et permanent par propriété
stable car l'axe imaginaire est dans la RDC
pourquoi ? il faut dire que intégrale de /h(t)/ dt de l'infini
à l'infini converge.
et puis la question hyper bateau qu'il pose à tous les coups:
la réponse de ce système à u(t)=5sin(3t)
donc c'est bien y(t) = 5 /H(iw0)/ sin(3t + phi(w0))
et là : c'est quoi w0 ?? c 'est bien sur = 3 ici.
voila bon courage !!!

MATH-H-201 - 17 Jun 2010

1er partie (je crois que c'était le numéro 5) :
Soit f une fonction analytique dans D. Démontrer que integrale de Z0 à z de f(s) ds est une primitive de f(z).
La démo est dispo dans le cours.
Quelques questions sur la démo : à un moment on utilise l'intégrale de z à z+delta(z) et j'ai dit qu'on prenait comme chemin d'intégration le segment reliant les deux points -> pourquoi est-ce qu'on peut ? f est analytique dans D donc par Cauchy-Goursat l'intégrale est indépendante du chemin d'intégration (si on garde le segment dans D).
Fallait aussi définir une fonction analytique.
Après, il a demandé de parler de point singulier isolé (définir).
Soit f(z)=Log(z+4)/((z-1)²(z+3)). Il demande où sont les points singulier isolé (en 1 et -3) et dire que sur l'axe réel négatif (à partir de -4) ce ne sont pas des points singuliers isolés parce qu'il n'y a pas de voisinage tel que la fonction y soit dérivable (on prend toujours l'axe dans le voisinage donc c'est pas bon).
Après, il demande de calculer l'intégrale de f(z) sur le contour C défini par |z-3|<4.
On utilise les théorèmes des résidus (seul le pôle en 1 est dans le contour). C'est un pôle d'ordre 2.
Ensuite, il demande ce qu'est le résidu en z=1 : coef de 1/(z-1) dans le développement en série de Laurent.
Donner la forme du développement en série de Laurent autour de 1 de f(z). Donc, c'est "somme de n=0 à l'infini de a_n (z-1)^n" + b1/(z-1) + b2/(z-1)² (il faut s'arrêter en b2 car le pôle est d'ordre 2).
2e partie (je crois que c'était la question 9) :
on a un système composé de 2 système causals en série.
On connait u(t), y(t) H1(p) et H2(p)
a) Donner la réponse impulsionelle du système.
Système en série, donc y(t)=u(t)*(h1(t)*h2(t))
Donc H(p)=H1(p)H2(p) et donc h(t) est la tranformée de Laplace inverse de H(p) (via propriété de la tranformée de Laplace).
b) Soit H1(p) et H2(p) des fractions rationnelles. Donner une condition sur H1 et H2 pour que le système soit stable.
Les pôles de H1(p) et H2(p) doivent avoir une partie réelle négative. (Moi j'ai dit qu'il était possible que les pôles de H1(p) H2(p) sautent quand on fait le produit et donc que cette condition était un peu trop restrictive. Par exemple :
si H1(p)=(p-1)/p et H2(p)=p/(p-1), le produit donne 1, la RDC est tout le plan complexe alors qu'un des pôles de H2(p) a une partie réel positive (en 1). Je crois qu'il s'en foute qu'on dise ça, mais c'est toujours un plus (je crois)).
c) Soit H1(p)=e^(-2p)/(p+1) et H2(p)=1/(p+3) (je suis plus trop sûr je crois que c'est cette forme-là).
Calculer la réponse du système à une entrée u(t)=3 cos(2t)
Faut utiliser la formule y(t)=|H(iw)| A cos(wt+arg(H(iw)))
d) Calculer la réponse impulsionnelle du système
On a H(p)=e^(-2p)/((p+1)(p+3)).
Attention, ici il faut d'abord calculer la transformée inverse de H(p)=1/((p+1)(p+3)) (via formule d'inversion ou décomposition en fraction simple)
qui donne un truc du genre : h(t)= (e^-t +e^-3t)nu(t) (la réponse ci-contre "au pif", j'ai la flemme de refaire le calcul)
et puis appliquer le glissement temporel dû à e^(-2p):
h(t)=(e^-(t-2) +e^-3(t-2) )nu(t-2)
Si, on appliquait de manière brute la formule d'inversion (on peut pas vu que c'est pas une fraction rationnelle) on obtiendrait un truc du genre : h(t)=(e^-(t-2) +e^-3(t-2) )nu(t) (le t de nu(t) n'est pas devenu un nu(t-2)...)
Enfin, après, il a posé une question sur les courbes de Bode. Il en a dessiné une. Il a demandé de donner le module y(t) pour un signal du type sin(0,5t), on lit sur le graphe le gain G (exprimé en dB) pour w=0,5.
Donc, G=20 log_base10(|H(iw)|).
De là, on tire le module de H(iw) (10^(G/20)) et donc le module de y(t).
Enfin, sur la courbe de Bode, il y avait une petit maximum. Il a demandé ce que ça le w à cet endroit représentait : c'est la pulsation de résonance.
Voilà voila.
Bon courage à tous.

MATH-H-201 - 17 Jun 2010

Fiche 9
Série de puissance S(z)=? an (z-z0)^n
Démontrer que S'(z)=? an n (z-z0)^n-1
Indication : Si C chemin simple admissible fermé dans le cercle de convergence de la série de puissance, et g(s) continue sur(dans?) C, alors ?g(s) S(s) ds = ? an ?g(s) (s-z0)^n ds
Dans l'indication il ne donne pas g(s) à utiliser pour la démo, donc le truc important est de se souvenir qu'on doit utiliser la deuxième formule de Cauchy, à partir de là on peut trouver que g(s)=1/(2 pi i) 1/(s-z0)^2, qui est continue, donc ... cf cours, démo assez simple.
J'ai attendu pas mal de temps avant qu'il vienne m'interroger, c'est pas mal ça permet de bien se relire, et être bien sûr de son raisonnement. Il demande d'expliquer ce qu'on a fait, puis les conditions d'application de la deuxième formule de Cauchy (f analytique sur et dans C , chemin simple admissible fermé, z0 n'importe quel point dans C)
Sous-question : ?Log(z)/(z^4+1) dz avec C?|z-1-i|=1/2 : Comment la calculer ? -> théorème des résidus, donc recherche des pôles, puis application du théorème. Je me suis embrouillé dans le théorème, je confondais avec la définition d'un résidu d'un pôle, je sentais que quelque chose clochait, il m'a demandé si je voulais plus de temps ce que j'ai accepté, et m'a laissé 5 min pour retomber sur mes pattes. Il demande pas de faire tout le calcul, mais au moins développer ?(z).
Ensuite des petites questions qui s'enchaînent assez vite : Pourquoi on peut appliquer le théorème ? Log(z)/(z^4+1) est analytique sur et dans C. Quand ne peut-on pas l'appliquer ? Pour un C contenant l'axe réel négatif, Log(z) pas analytique. Définir fonction analytique en z0 : fonction dérivable ? point dans un voisinage de z0. Conditions pour que f(z) dérivable ? ?(u,y)/?(x,y) existent, continues et respectent C-R. Équations de C-R ? ?u/?x=?v/?y et ?u/?y=-?v/?x.
Fiche 4
Soit X(p)=e^-3p / (p+1)(p+2), détermine-t-elle x(t) de manière univoque ? Déterminer le(s) x(t) possible(s).
Manque la RDC pour déterminer x(t) univoquement.
! avant d'appliquer la formule d'inversion basée sur le théorème des résidus : nécessaire d'utiliser la propriété de glissement dans le temps : x(t-3) <--> 1/(p+1)(p+2)
J'ai tout mis au tableau, conditions pour appliquer formule d'inversion, les 3 RDC possibles, la formule d'inversion, à partir de là c'est du simple calcul de résidus. On retrouve x(t) par rapport à x(t-3) par un simple changement de variable. Comme j'avais encore du temps, j'ai vérifié la solution par décomposition en fractions simples, je terminais tout juste quand il est arrivé donc j'ai pas su me relire, on a constaté ensemble que j'avais une faute dans la formule d'inversion, mais comme je l'avais vu par la vérification, il ne m'en a pas tenu rigueur je pense.
Sous question : H(p)=e^-3p / (p+1)(p+2), trouver la pente à l'origine de la réponse indicielle. -> je suis reparti de la définition de la réponse indicielle pour trouver que h(t)=ds(t)/dt, donc h(0+) donne pente à l'origine de s(t), utilisation du théorème de la valeur initiale, donner les conditions (j'ai commencé à les sortir et il a vu que je les connaissais donc a demandé : en gros à quoi sert l'hypothèse A ? ? converge càd transformée de Laplace existe)
On trouve facilement que lim (?->?) ? H(?) = 0, donc pente nulle.
Ensuite : il a fait un graph de s(t) : nulle si t<0, pente non nulle en 0 puis s(t)>0 si t>0 (forme sans importance) et il demande quelle H(p) correspond entre H1(p)=1 / p^2+p+1 et H2(p)=(p+3) / p^2+p+1. On réutilise le théorème de la valeur initiale, en sachant que s(t) a une pente non nulle en 0, donc ce n'est pas H1(p), et on vérifie facilement que lim (?->?) ? H2(?) ? 0 (ordre 2 sur ordre 2), donc c'est bien H2(p).
Conclusion
Le prof est sympa, pas stressant et je trouve qu'il m'a donné de bons points malgré mon hésitation pour le théorème des résidus et l'erreur dans la formule d'inversion. L'important est de rester sûr de soi, de lui montrer que vous gérer quoi 🙂 , et d'être clair dans votre énonciation. Vous avez du temps pour répondre, et même quand il pose des questions c'est pas très pressé.
Bonne merde à tous !

MATH-H-201 - 16 Jun 2010

Théorie sur la deuxième partie (Fiche 14 si je me trompe pas) :
Soit L(s(t)) = S(p) : RDC @+s < Re(p) < @-s (je mets @ pour le alpha)
et L(q(t)) = Q(p) : RDC @+q < Re(p) < @-q
Que vaut la transformée de Laplace du produit de convolution L( s(t)*q(t) ). Que pouvez vous dire sur la RDC.
La démonstration est dans le cours. La RDC sera : max(@+s, @+q) < Re(p) < min(@-s, @-q) qui correspond géométriquement à l'intersection des deux RDC.
Sous questions :
1.Qu'est ce que la réponse impulsionnelle : sortie du système à une impulsion de Dirac.
2.On a la fonction de transfert isomorphe d'un système qui vaut : H(p) = exp(-2iw)/(p+a)
Quelle est la réponse y(t) de ce système à une entrée cosinusoïdale 2.cos(3t + 3) appliquée depuis un temps -infini.
Dans le cours, il y a une formule qui donne la réponse d'un système par rapport à une entrée sinusoïdale sin(wt) est |H(iw)|.sin(wt + arg( H(iw) ). Ici, la sortie sera de la forme
y(t) = |H(iw)|.2.cos(3t + 3 + arg( H(iw) ). Il suffit donc de calculer l'argument et le module de H(iw).
3.Qu'est-ce qu'un système stable : stable si entrée bornée => sortie bornée. Cela revient aussi à dire que l'axe imaginaire appartient à la région de convergence de H(p).
4.Exprimer mathématiquement que entrée est bornée : il existe un réel b tel que, pour tout t réel,
|u(t)| < b.
Pratique sur la première partie (Fiche 7)
Vérifier le principe de l'argument pour :
a/ 1/z^3 pour C : |z| = 1
b/ 2(z+1) pour C : |z-3| = 1
Le principe de l'argument est le suivant : soit un chemin fermé C ne passant pas par l'origine et f une fonction. Le nombre d'encerclement T de l'origine de l'image de C par f peut être obtenu à partir du nombre de zéros Z et de pôles P de f encerclés par C par la relation T = Z – P. Z et P tiennent compte de la multiplicité, donc si on a un pôle de multiplicité 3, P = 3. Le nombre d'encerclement est positif si on tourne dans le sens trigonométrique autour de l'origine.
(je mets Q pour thêta).
a/ L'équation paramétrique du cercle est : z = exp(iQ) avec 0 <= Q < 2*pi.
On a donc 1/z^3 = exp(-3iQ). On peut donc voir que lorsqu'on parcourt le cercle, c'est-à-dire lorsque l'on fait varie Q de 0 à 2*pi, l'image du cercle exp(-3iQ) fait trois tours autour de l'origine dans le sens négatif, on devrait donc obtenir T = -3
Vérifions le principe de l'argument : 1/z^3 a un pôle en z = 0 de multiplicité 3 => Z = 3 => T = -3.
b/ L'équation paramétrique du cercle est : z = exp(iQ) + 3 pour 0 <= Q < 2*pi.
L'image du cercle est donne par 2.exp(iQ) + 8 pour Q variant de 0 à 2*pi. Cela correspond à un cercle de rayon 2 et centré en (8,0). Cette image n'entoure pas l'origine => T = 0.
Vérifions le principe de l'argument : 2(z+1) possède un zéro en z = -1, mais ce zéro n'est pas dans le cercle C => T = 0.
Sous questions :
1.Il pose quelques questions sur le principe de l'argument pour voir si on a bien compris son application.
2.Ensuite, il m'a demandé de calculer l'intégrale sur le cercle C : |z – 1 – i| = ½, de 1/(z^4 + 1). Il est parti pendant un moment pour que je prépare la question.
Il faut d'abord calculer les pôles : on pose z = exp(iQ). On veut trouver les z tel que
exp(4iQ) = -1 = exp( i*(pi + 2k*pi) ) => exp(iQ) = exp( i*(pi/4 + k*pi/2) ). Il suffit de faire varier k de 0 à 3 inclus pour trouver les 4 pôles de multiplicité 1 chacun.
Ensuite, il suffit de regarder quels pôles se trouve dans le cercle C : il n'y en a qu'un seul qui est z1 = 1/sqrt(2) + i/sqrt(2) où sqrt(2) est la racine carrée de 2.
On applique le théorème des résidus, l'intégrale vaut donc 2*pi*i*(résidu de la fonction en z1)
3.Quand il est revenu, il m'a demande qu'est-ce qu'un résidu : coefficient b1 de 1/(z-z0) de la série de Laurent.
4.Écrire la forme générale de la série de Laurent.
5.Quelle est la région de convergence de la série de Laurent autour de z0 : un anneau centré en z0.
6.Qu'est-ce que l'on peut dire sur le rayon intérieur de cet anneau lorsque l'on évalue le résidu en z0 : le rayon intérieur tend vers 0. Je sais plus trop pourquoi, il a dit un truc du genre que il doit avoir un voisinage de z0 où la fonction doit être analytique ce qui implique ce résultat. À vérifier.
En conclusion, le prof est très sympa et il essaye pas de péter les gens à tout prix. Bien que j'ai fait quelques erreurs de distraction, je pense qu'il était assez compréhensif parce qu'il a dit que ma note tournait aux environs de 16. Il faut quand même bien connaître l'ensemble du cours parce qu'il peut poser des questions sur tout et n'importe quoi. On a aussi bien le temps de préparer les questions (environ 1h pour chaque questions). Après la préparation, il arrive et regarde le développement. Il pose quelques questions sur les étapes du développement et il enchaîne sur quelques sous questions.
Un petit conseil, regarder bien toutes les questions d'oral des années précédentes parce que je suis tombé sur 2 questions qui était déjà tombées.
Une petite note pour les gens comme moi qui se demande à quoi ça pourrait bien servir le principe de l'argument en pratique, il m'a répondu qu'en fait cela correspond aussi à critère de stabilité, mais cette notion la sera vue dans le cours d'automatique
Bonne chance pour les prochains et les générations futures :P.

MATH-H-201 - 27 Jun 2009

QUESTION 1 (fiche 13):
===================
Soit f(z) une fonction non-nulle et analytique sur C (chemin simple admissible fermé) et dans D (domaine intérieur à C), sauf en un pôle de multiplicité ß, et la fonction ne possède pas de zéro. Démontrer que l'intégrale sur C de f'(z)/f(z) vaut -2?iß .
Réponse: J'ai commencé par dire que c'était une conséquence du principe de l'argument, je connaissait la 1ère partie de la démo mais pas la 2ème, or c'est la 2ème partie qui aurait été utile pour démontrer ça. Je lui ai dit que je ne connaissait pas la 2ème partie de la démo, alors il m'a demandé s'il n'y avait pas un autre moyen de calculer l'intégrale (ouf!). Solution: puisque f(z) ne possède pas de zéro et 1 pôle z0 de multiplicité ß, elle est de la forme ?(z)/(z-z0)^ß où ? est analytique et non-nulle sur tout D. Ensuite calcul de la dérivée de f(z) (donc dérivée d'un quotient etc...), pour finalement en arriver à ce que f'(z)/f(z) = ?'(z)/?(z) - ß/(z-z0) . Dès lors, quand on intègre tout ça, le premier terme est nul (car ? analytique et non-nulle sur tout D et ?' aussi, donc par Cauchy-Goursat l'? est nulle). Le 2ème terme, on sort la constante ß, et il reste l'intégrale sur C de 1/(z-z0) qui vaut 2?i (et dire pourquoi). On obtient alors que le résultat de l'intégrale de base vaut -2?iß .
Sous-questions:
Intégrer dz/z de i à 2i+3 . J'ai commencé par faire une paramétrisation de z(t), qui était correcte, mais il m'a demandé si je ne pouvais pas plutôt trouver quelque chose par une primitive. ==> La primitive de (1/z)dz est Log(z).
Il m'a demandé d'expliciter cette expression ==> Log(z) = log|z| + i*Arg(z) , et puis expliciter Arg(z) (la détermination principale) et donner son domaine d'analycité (ici c'était analytique partout sauf en -? ou ?, puisque le domaine d'Arg était -? < Arg(z) <= ?)
QUESTION 2 (fiche 9):
==================
Soient 2 SLP causals en série de fonction de transfert H1(p) et H2(p):
U(p)———|H1(p)|——|H2(p)|———Y(p)
a) Quelle est la réponse impulsionnelle du système ? (utiliser notamment le fait que la sortie du SLP1 est l'entrée du SLP2 pour démontrer que y(t)=u(t)?h1(t)?h2(t) ).
b) Quelles sont les conditions sur H1(p) et H2(p) pour que le système soit stable ? (faut H1 stable et H2 stable, et citer les conditions pour un SLP stable). Il m'a aussi demandé ce qu'est une fonction bornée.
c) Pour H1(p)=... et H2(p)=... (me souviens plus des valeurs mais c'est pas grave), calculer la sortie y(t) pour une entrée u(t) = 3cos(2t) . (Donc w=2) ==> Utiliser le résultat vu au cours d'une sortie pour une entrée (co)sinusoïdale (avec gain, déphasage, courbes de Bode et tout ça), puis il m'a demandé comment calculer le module et la phase de H(iw)
d) ??? (pas eu le temps de la faire)
Conclusion
=========
En effet il est assez cool et décontracté durant l'oral (qui dure 2h-2h30). Quand on bloque il donne des petits indices, mais il apprécie qu'on embraye dessus ! J'ai pas eu l'occasion d'essayer de blablater sur un truc que je connaissait pas, mais quand je lui ai dit direct que je ne connaissais pas la 2ème partie du principe de l'argument, il ne l'a pas mal pris et m'a tout de suite permis de continuer autrement. Finalement il m'a mis 13.
Bonne chance pour les suivants !

MATH-H-201 - 26 Jun 2009

Question:
Montrer que
1) Log(z1.z2) = Log(z1) . Log(z2)
2) Log(exp(z)) = z
sous certaines conditions.
(voir cours - fonctions élémentaires - fonction Log)
Sous-questions:
Résoudre deux intégrales sympathiques:
int(dz/z) sur un chemin ouvert ne passant pas par l'axe réel négatif & int(dz/z²) sur un cercle contenant z=0.
Il enchaine avec la notion de résidu et de série de Laurent.
Commentaires:
Si vous pensez que c'est une question relativement facile je suis entièrement d'accord avec vous, mais inutile de dire que lui aussi en est conscient - il s'attend à ce que vous soyez parfait sur ces notions de base (fonctions élémentaires, domaine de définition et discontinuité de Arg(z), chemins d'intégration, résidus).
Question:
Soient les systèmes caractérisés par
1) y(t) = 5t.u(t)
2) y(t) = sin(t).u(t)
3) int(u(T).exp(t-T)dT évaluée de -infini à t
4) H(p) = 1/[(p+11)(p+1)]
Dire s'ils sont linéaires, permanents, stables.
Sous-questions:
Définition de fonction bornée. Réponse d'un SLP à une entrée sinusoïdale de pulsation donnée pour un H(p) donné. Région de convergence d'un système causal.
Commentaires:
Vous pouvez tranquillement vous en sortir simplement en ayant lu la 2e partie du cours avec quelques longs calculs mais ce qu'il adore c'est l'approche intuitive. (Exemples d'arguments très appréciés:
-Peut-on tirer des conclusions simplement à partir de la forme de y(t)/H(p) ?
-Que devient y(t) si l'entrée vaut dirac(t)/ nu(t)/ cste ?)
Vu que la question fait intervenir un bon paquet de notions qu'il faut expliquer et justifier il compense en posant des sous-questions assez light.
NB: Il est très utile de savoir que pour u(t) = A.sin(w0t) la réponse d'un SLP est y(t)=|H(iw0)|.A.sin(w0t+Arg(H(iw0))
Il est très sympa et n'a clairement aucune envie de vous enfoncer. Entre le moment où vous recevez la question et celui où il réapparaît pour la corriger vous avez largement le temps de dissiper le stress, écrire la réponse, la corriger, planifier vos réponses aux sous-questions les plus probables, calculer le cube du nombre de dalles sur le parquet, ajouter le nombre de craies et décomposer le résultat en facteurs premiers - donc pas de problème à ce niveau là.

MATH-H-201 - 25 Jun 2009

Question théorique:
Démontrer que l'intégrale de f'/f d'une fonction possédant un pôle de multiplicité bêta et aucun zéro dans un domaine D vaut -2i pi bêta (deuxième partie de la démonstration du principe de l'argument). Justifier chaque étape et donner la définition d'une série de Laurent. Je n'ai pas eu beaucoup d'autres questions: juste une intégrale simple à calculer par les résidus et donner le domaine d'analycité de Log z.
Question pratique:
a) Donner la réponse impulsionnelle de la mise en parallèle de deux éléments dont on connaît les réponses impulsionnelles
b) Donner les réponses impulsionnelles de ces deux éléments en connaissant leur fonction de transfert, sachant que le système est causal (utiliser la formule d'inversion)
c) Donner la pente à l'origine de la réponse indicielle
d) Calculer la réponse à une sinusoïde appliquée depuis un temps infiniment long.

MATH-H-201 - 24 Jun 2009

Bonjour à tous, voila mes questions...
Question théorique:
Démontrer la première formule de Cauchy, en mettant bien les hypothèses sur C et sur zo.
Pour cette démonstration, on utilise un lemme, donc il m'a brièvement demandé d'expliquer le résultat obtenu, en gros, on exprime les équations paramétriques du cercle, et puis voila...
Pour la démonstration, il passe en revue toutes les lignes, donc faut surtout pouvoir tout justifier, que ce soit le corollaire de Cauchy-Goursat, la définition de la continuité !!
Puis, il m'a donné une intégrale à résoudre: int(1/z³+1) sur le contour |z+2|=2, le seul pôle dans ce contour est z=-1, on peut donc utiliser le théorème des résidus pour trouver le résultat de l'intégrale..
Puis, il a enchainé sur la définition des résidus, sur l'analycité, et finalement sur les séries de Laurent...
Question pratique:
il donnait la transmittance isomorphe d'un système causal H(p)= exp(-p.tau)/(p+a)(p+b)
Il fallait trouver la réponse impulsionnelle c-a-d la transformée inverse de Laplace de H(p), définir les RDC
Puis il fallait que je donne les conditions d'application du théorème de la valeur finale. Et l'appliquer sur la réponse indicielle, la réponse c'est 1/ab et les conditions sont a>0 et b>0.
Et enfin, il a donné une entrée u(t)= sin (2t), il fallait trouver la sortie qui est y(t)= |H(2i)| sin(2t + phi(2i) ), et il a voulu que je trouve phi (2i)...
Voila, j'espère avoir été assez claire.. et, en espérant que ça puisse vous aider 🙂

MATH-H-201 - 24 Jun 2009

Question 1 :
Démontrer que int(f'(z)/f(z))=-2.pi.bêta si f(z) analytique sur C et que z0 est un pôle d'ordre bêta. Il faut expliquer que f(z)=phi(z)/(z-z0)^bêta puis appliquer l'intégrale sur le quotient. On a int(f'(z)/f(z))=-bêta/(z-z0) + phi'(z)/phi(z). Par la déf d'un résidu, -bêta est le résidu.Il faut ensuite utiliser le théorème des résidus pour trouver -2.pi.bêta,
Il m'a aussi demandé d'où venait le résidu, j'ai du expliquer la série de Laurent que c'était pour R1<|z-z0|<R2.
Enfin il m'a demandé de résoudre int(dz/z) de 2i à 2i+1. Ca fait [Log(2i+1)]-[Log(2i)], j'ai expliqué pourquoi on pouvait utilisé le Log (car le chemin ne passe pas par l'axe réel négatif).
Question 2 :
Soit X(p)= e^-3p/(p+1)(p+2), donner x(t). Il y a trois RDC on utilise la formule avec les résidus et on applique un décalage temporel de 3. Il m'a demandé aussi si X(p)=H(p) causal, quelle est la réponse y(t) à une entrée u(t)=2sin2t.
Le prof met à l'aise mais je trouve qu'il est assez sévère dans sa cotation.
Bonne chance !!

MATH-H-201 - 23 Jun 2009

Determiner la reponse du systeme y(t) pour une entrée u(t) = A cos(w0t+phi0)
Comme transmittance isochrone H(iw)
La faut tout tapper
Justifier la convergence absolue
le fait que la fonction pour que H(iw) ok c'est que ça contient l'axe imaginaire c-à-d pour sigma = 0
Question 2
Principe de l'argument [cf plus bas]
S'en suit des question sur laurent, etc ... 😀
L'examen ça été m'as filé 12 donc ça va ^^

MATH-H-201 - 22 Jun 2009

Question de théorie :
Déterminer avec démo la transformée de Laplace d'un produit de convolution de deux signaux, et donner la région de convergence connaissant les régions de convergences de ces deux signaux. C'est bien sur le produit des deux transformées, et la région c'est l'intersection des deux régions.
Il m'a ensuite demandé de définir le produit de convolution, et m'a demandé de calculer le produit de conv d'une fonction triangulaire entre -1 et 1, de hauteur 1, avec une impulsion de dirac décalée en t1 vers la droite. Il fallait voir que ça donnait la même fonction triangulaire décalée dans le temps de t1.
Finalement il m'a donné la transmitance isomorphe d'un système causal : H(p)=exp(-5p)/(p-2) et il m'a demandé si c'était stable. J'ai dit que l'exp correspondait à un décalage temporel de 5 et que 1/(p-2) c'est la trans de Laplace de exp(2t)heaviside(t), au final on a donc h(t)=exp(2(t-5))heaviside(t-5). L'intégrale sur R de h(t) diverge à cause de l'exp en l'infini => système instable. Mais il aurait préféré que j'aille beaucoup plus vite en disant que H(p) possède un pôle en 2, et comme le système est causal la région de convergence c'est le demi plan qui part de 2 et qui va vers +infini. Comme la région de convergence ne comprend pas l'axe réel, le système est instable.
Question de pratique :
Calcul d'une intégrale bien gentille sur deux contours fermés, le premier il n'y avait pas de pôle à l'interieur => intégrale = 0 , pour le deuxième il fallait bêtement appliquer le théorème des résidus et factoriser pour faire apparaître le phi(z), aucun piège.
Ensuite il m'a demandé de définir une fonction analytique et un résidu, donc j'ai du écrire le développement en série de Laurent d'une fonction, dire que le résidu était b1 et que dans le cas des résidus, la région de convergence c'était 0<|z-z0|<R. Puis j'ai du montrer sur la fonction de l'exercice les différentes régions de convergence autour d'un des points singuliers. Il y avait quatre pôles placés de telle sorte à former 3 régions de convergence distinctes en anneaux.
Finalement, il m'a demandé de dire ce que valait P(1/2, z). Ca vaut simplement exp(1/2 Log(z)), il m'a demandé si c'était analytique, j'ai dit oui sauf sur l'axe réel négatif, il m'a demandé pourquoi, j'ai dit parce que Log(z) fait intervenir Arg(z) qui n'est pas continu sur l'axe réel négatif comme on passe de pi à -pi, et si c'est pas continu, c'est pas dérivable.
Je pense avoir eu de la chance de tomber sur ces questions, et lui est vraiment plutôt sympa, quand tu bloques il te met sur la voie, et te met à l'aise. Par contre il m'a fait mijoter une bonne heure tout seul pour préparer la question de théorie, ça c'était bien chiant comme j'avais tout écrit en 10min.

MATH-H-201 - 22 Jun 2009

1ère question :
Retrouver la réponse d'un SLP à une entrée cosinusoïdale A.cos(w0.t) appliquée depuis moins l'infini (détailler tous les calculs).
Puis, les sous-questions :
- la fonction cos(w0.t) respecte-t-elle les conditions de Dirichlet ? Si non, comment peut-on quand même calculer sa transformée de Fourier ?
- Que permet de garantir la 1ère condition de Dirichlet appliquée à la réponse impulsionnelle ? (stabilité)
- Définir la notion de stabilité (entrée bornée-sortie bornée, réponse impulsionnelle, fonction de transfert). Pour la fonction de transfert, pourquoi est-ce que la condition de stabilité revient à dire que la RDC doit contenir l'axe imaginaire ?
- Le prof donne une fonction de transfert, pour moi c'était H(p) = e^(-5p)/((p+2)(p-3)). Quelles sont les régions de convergence ? Si l'on se trouve dans l'une ou l'autre région, qu'est-ce que ça implique pour h(t) ? (causal, anticausal, stable). Donner la méthode pour calculer h(t). J'ai décrit la méthode des résidus, puis il m'a demandé de calculer un résidu pour la RDC Re(p) > 3.
2e question :
Calculer la série de Laurent en puissances de z de f(z) = -1/((z-1)(z-2)) pour les régions |z| > 2 et 1 < |z| < 2.
Les sous-questions :
- comme j'avais utilisé le fait que 1/(1-z) = série z^n avec |z| < 1, il m'a demandé le pourquoi du comment de la région de convergence
- Comment calculer le résidu en z = 2 de f(z) sans faire appel aux séries de Laurent ?
- Comment calculer le résidu en z = 1 de f(z) avec les séries de Laurent ? Donner la région de convergence de la série de Laurent qui permet de le calculer.
- Calculer intégrale(dz/z) sur le chemin linéaire allant de i à 3i. Je l'ai calculé avec Logz. Il m'a ensuite demandé pourquoi est-ce qu'on peut calculer l'intégrale de cette manière ? Est-ce que c'est valable pour n'importe quel chemin et pourquoi ? (Le chemin ne contient pas de point sur l'axe réel négatif, donc c'est permis) Pourquoi Logz n'est pas analytique sur l'axe réel négatif ?

MATH-H-201 - 21 Jun 2009

Idem mes deux questions, en retard! (mais je pense aux générations futures)
1 : Démontrez qu'une fonction analytique sur un disque de rayon R peut s'exprimer sous la forme d'une Serie de Taylor
On tape tout , avec quelques explications sur comment on majore le reste pour le faire tendre vers 0. Il aime bien qu'on fasse un dessin avec s, z , z0
S'en suivent quelques questions sur ce qu'est une série de Laurent, un résidu, et il demande de faire 2 intégrales faciles.
2 : Soit la fonction en créneau (comme les crénaux d'un château, de hauteur 1 , espacé de 1, à partir de t = 0) Donnez la transformée de Laplace avec région de convergence
Je crois que c'est la pire question de toutes ... Personnellement je me suis un peu ramassé, car la transformée se présente sous la forme d'une série d'exponentielles. J'avais trouvé la réponse mais non simplifiée, il m'a un peu aidé et c'est allé.
Le truc c'est de dire que la fonction en créneau est un produit ou une somme de nu(t-2k). Faut chipoter, puis appliquer la linéarité de la transformée de Laplace. La région de convergence est Rep>0 car il faut que vote intégale converge (et il ya un e^-pt)
S'en suivent quelques questions sur un SLP dont la fonction de transfert est 1/(p+a)(p+b). Il faut donner la réponse à une entrée sinusoïdale (sans oublier de remplacer les w par la fréquence donnée) et un peu expliquer. Préciser que la série de Fourrier existe car la RDC contient l'axe imaginaire est conseillé ! ^^
Voila voila

MATH-H-201 - 20 Jun 2009

Mes questions (un peu en retard...)
1ère :
Si f(Z) = phi(Z) / (Z-Zo)^m où phi(Z) est analytique et non-nulle en Zo,
alors démontrer que Zo est un pôle d'ordre m et que son résidu vaut phi(Zo) dérivé m-1 fois / (m-1)!
Il s'agit d'une simple démo du cours.. En déduire la résidu d'une fonction en son pôle. Le dénominateur de cette fonction est (3Z-2)^2. Il ne faut donc pas oublier de mettre 3 en évidence, en n'oubliant pas le carré.
Ensuite calculer la valeur de l'intégrale dz/(z^3+1) sur un contour |z+2|=2. La fonction a trois pôles -> résoudre par Horner ou méthode avec le module et les arguments. Seul 1 des pôles est intérieur au cercle ! Parler de Cauchy-Goursat.
2ème :
Il donne X(p)= exp(-3p) / ((p+1)(p+2)). Est ce que cela définit univoquement x(t) ? donnez les différentes expressions de x(t). Pour cela, diviser l'axe réel en trois "bandes" : Re(p) < -2 ; -2 < Re(p) < -1; Re(p) > -1. Cela nous donne donc trois expression différentes de x(t). Discuter en fonction de la causalité des transformées inverses de Laplace de 1/p+1 et 1/p+2. Ne pas oublier le glissement dans le temps. Un exercice semblable est dans les tp's je pense.
Ensuite, laquelle admet une transformée de Fourier ? --> conditions de Dirichlet (la 1ère principalement) --> il faut des exponentielles négatives. Si H(p) = X(p), donner les conditions pour avoir stabilité en terme de réponse impulsionnelle. Comment calculer la réponse indicielle de ce système ? --> réponse à fonction d'Heavyside. y(t)=h(t)*v(t) --> Y(p)=H(p).V(t) où transformée de Laplace de v(t) = 1/p --> multiplier H(p) par 1/p et faire la transformée inverse.
En espérant pouvoir vous aider.

MATH-H-201 - 20 Jun 2009

Bonjour à tous, voici les 2 questions que j'ai tirées:
Question 1:
Redémontrer la dérivée d'une fonction de puissance. Il suffit juste de retaper la petite démo du cours qui n'est pas très compliquée du fait qu'il te donne en plus le résultat de l'intégrale de la fonction de puissance dont tu as besoin pour pouvoir faire ta démonstration. Ensuite il te pose quelques petites questions du style: quelles sont les conditions pour pouvoir utiliser la formule de cauchy dans ta démonstration, qu'est ce qu'est une fct analytique,... Puis il m'a également demandé de résoudre l'intégrale de 1/z^3 le long du chemin |z+i|=2. Tu calcules d'abord tes pôles pour voir ceux qui sont intérieurs à ton chemin.Ici les 3 pôles en font parties. Tu appliques ensuite le théorème des résidus (2*pi*somme des résidus).
Question 2:
On donne un système constitué de 2 sous-systèmes mis en parallèles ayant chacun une fonction de transfert H1(p) et H2(p). On demande:
a) Calculer la réponse impulsionnelle résultante
b) Il donne les expressions de H1(p) et H2(p) et il demande d'évaluer la pente à l'origine de la réponse indicielle. Pour cela il faut calculer d'abord h(t) en caculant la transformée de Laplace inverse (soit par décomposition en fraction simple, soit à partir de la formule d'inversion basée sur la théorie des résidus). Ensuite savoir que la réponse indicielle est la sortie du système au signal d'entrée qui est l'échelon unitaire.
c) Calculer la réponse à une entrée donnée par u(t)=2sin(2t+5). Utiliser la transmittance isochrone à partir de votre fonction de transfert. et y(t) est de la forme: 2|H(2i)|sin(2t+5+phi(2i))
Voilà sinon bein M.Kinnaert n'est pas méchant et vous mets à l'aise.
Bon courage aux derniers

MATH-H-201 - 20 Jun 2009

Visiblement mon post d’hier n’est pas passé, je le renvoi.
1ière question : Montrer que l’int sur c de f’(z)/f(z) = 2pi.i.alpha avec f(z) analytique sur c, non nulle sur c et qui admet un zéro Zo d’ordre alpha à l’intérieur de c. Puis question sur la convergence et l’analycité.
2ième question : Etant donné un système causal H(p) formé par 2 systèmes en série H1(p) et H2(p)
a) Exprimer H(p) en fonction de H1(p) et H2(p)
b) Donner les conditions sur les RDC de H1 et H2 pour que le système soit stable
c) Calculer la réponse harmonique (il y a une formule dans le cours)
d) Calculer la réponse impulsionnelle du système.
e) Calculer la réponse indicielle du système.
Bien maitriser tout ce qui est analycité, RDC, stabilité, causalité et connaitre la formule de la réponse harmonique.
On a en général assez de temps pour répondre aux questions mais ne le gaspillez pas tout de même à écrire un peu de tout au tableau. Si non le prof, il te met à l’aise, il te corrige quand tu t’enfonces dans des faux calculs,… Il est formidable, vous allez apprécier.
Bon courage !

MATH-H-201 - 19 Jun 2009

question 1
------------
Equation Cauchy Riemann + demontrer que c'est bien une condition nécessaire d'existence de la dérivée en z0
Facile à démontrer, les questions qui suivent sont pas hautement compliquées.
question 2
------------
Retrouver transformée de laplace unilatérale de d³x(t)/dt³ puis y avait une equation à résoudre.
Facile aussi mais il accorde aucune importance à cette première partie...
Donc après avoir répondu a cette question pendant 5 minute au tableau on attend 1 heure au moins et vient les questions auquel il attache de l'importance et la il va dans tout les sens, on s'embrouille une foi dans les causalités etc et on est finit

MATH-H-201 - 19 Jun 2009

Bonjour,
1ère question: démontrer le principe de symétrie de Fourier, cest-à-dire transposée de x(t) <-> transposée de X(-iw). Ensuite démontrer que si x(t) est réelle et impaire, alors X(-iw) est impaire et imaginaire pure. Après ça, il m'a un peu cuisiné sur la stabilité, sur la réponse à un sin(t) tout ça...
2ème question: Calculer l'intégrale sur un contour orienté positivement de dz/z et dz/z^3 pour les contours z=1 et z-1=1/2. Il suffit d'appliquer les résidus, Cauchy-Goursat et tout ça. Pour suivre il m'a demandé combien de développements avec la fonction 1/(p+1)(p-3) et pourquoi. Il faut lui dire 3 car trois " zones" où la fonction est analytiques (z<1 1<z<3 et z>3). La première zone donne une série de Taylor, les deux autres une série de Laurent.
Voili Voilou:-) Bons examens à ceux à qui il en reste!

MATH-H-201 - 19 Jun 2009

Salut à tous,
alors les questions :
1 Démontrer que F = int ( f ) de z0 à z est la primitive de f (f analytique sur l'intérieur d un domaine D simplement connexe). Bon c'est tel quel dans le cours. Ensuite calculer int ( 1/z ) de 2 à 3i via la méthode des primitives (Log Z donc et on peut vu que le chemin rectiligne ne passe ni par 0 ni part l axe réel négatif). Enfin donner le développement en série de Laurent d'une fonction et son domaine de convergence (un anneau donc).
2 Il donne 4 systèmes et il faut dire s'ils sont linéaires, permanents et stables. Les système sont sous différentes formes ( H(p) = ... , y(t) = un produit de convolution, y(t) = 5 t u(t) , ...)
Bonne chance !

MATH-H-201 - 19 Jun 2009

Salut à vous.
Première question : démontrer série de Taylor. Ca va, pas trop compliqué si on la connait. Et puis quelques questions sur la définition principale de la fonction puissance. Pas génial génial.
Deuxième question : il donne un graphe représentant X(iw) qui fait w+1 entre [-1;0] et 1-w entre [0;1] et 0 ailleurs. Ca correspond à un x(t). Puis il demande d'esquisser Y(iw), si y(t)= (cos(t/2)+2cos(5t)).x(t).
J'étais mal parti et j'ai tout effacé et il est arrivé un peu juste après, je m'y attendais pas, vu que j'ai eu un temps fou pour la preière question. Je lui ai expliqué comment je comptais faire : calculer la transformée de la fonction avec les cos, ça faut faire par al méthode de transformée fonction périodique, avec des delta de dirac.. (développer cos en exponentielles, c'est plus simple), et puis faire le produit de convolution, et après on sait voir.
Et puis parler un peu de ce que c'est qu'un système causal et il me donne un H(p) et trouver h(t)..
Il est bien, j'ai juste été à la bourre et surpris de le voir arriver si vite pour al deuxième question. Bonne chance à vous.

MATH-H-201 - 18 Jun 2009

Bonsoir à tous,
Je suis passé cet après-midi et je vous soumets donc les deux questions sur lesquelles j'ai été interrogé :
- Question 1
Enoncer le théorème de la valeur finale (Voir cours).
Déduire sous quelles conditions on peut affirmer que lim(t->inf)x(t) = lim (sigma -> 0+) sig X(sig).
Mr Kinnaert demandera ensuite de justifier clairement chacune de ces conditions (le fait que pX(p) anal pour R(p)>=0 et que G(p) est rationnelle avec d(N)<d(D) + demi-plan droit)
Ensuite il a demandé de l'appliquer un exemple et a embrayé sur une question de transmittance isochrone (il a donné une expr concrète) sur laquelle on applique ce théorème (donner les conditions pour lesquelles H(p) stable) En gros, il évalue vos connaissances sur l'ensemble du second tôme (il en va de même avec la seconde question qui porte sur le premier tôme).
-Question 2
Définir l'intégrale le long d'un chemin élémentaire d'une fonction continue (voir cours). + Appliquer sur un exemple (il faut donc trouver la bonne param... assez simple) Il a ensuite embrayé sur une question concernant la convergence des développements en série de puissance de (z-z0) (d'une fonction bien précise qu'il vous donnera) et sur leur unicité ou non (bien maîtriser c'est l'endroit où j'ai été un peu déstabilisé).
Dans l'ensemble très faisable pour peu de maîtriser le syllabus de cours et les exemples faits en cours.
Bonne merde à ceux qui passeront !

MATH-H-201 - 18 Jun 2009

MATH-H-201 - 17 Jun 2009

Et voici les questions que j'ai eu.
1e QUESTION :
Soit une fonction analytique sur un chemin admissible fermé C et D (intérieur de C) possédant un zéro de multiplicité alpha. Démontrer que l'intégrale sur C de f'(z)/f(z) est égale à 2*pi*i*alpha.
réponse :
Je lui ai dit qu'il s'agissant d'une conséquence du principe de l'argument. Tout d'abord, puisque f(z) est analytique, il n'y a pas de pôle. On définit alors T=le nombre d'encerclements de l'image par f(z) du contour C = Z -P avec Z le nombre de zéros et P le nombre de pôles.
Puis j'ai simplement balancé le principe de l'argument pour dire que l'intégrale est égale à i*deltaC(argument(f(z)))=2*pi*i*T où T=alpha.
Il m'a alors demandé s'il y avait un autre moyen de le faire. Il voulait simplement que je dise que f(z)=g(z)*(z-z0)^alpha avec g(z) analytique (puisque f(z) analytique) et que je l'utilise pour calculer directement l'intégrale avec le théorème des résidus et Cauchy-Goursat. Il voulait aussi que je lui démontre que g(z) analytique -> g'(z) analytique pour justifier l'utilisation de Cauchy-Goursat.
Enfin il m'a demandé de calculer l'intégrale de 2i à 3i+1 de 1/z^2. Je l'ai d'abord fait par la primitive, mais il voulait aussi que je la calcule en paramétrisant z linéairement entre 2i et 3i+1 avec z=2i+(i+1)t avec t va de 0 à 1.
2e QUESTION :
Il s'agissait de deux SLP causals en série de transmittance isomorphe H1(p) et H2(p).
a)Qu'est-ce que la réponse impulsionnelle du système d'entrée u(t) et de sortie y(t).
b)Donner les conditions de stabilité du système.
c)pour H1(p) et H2(p) donnés, calculer y(t) pour une entrée a*cos(w0t) donnée (dans mon cas c'était 3cos(2t).
d) en se basant sur le a) avec les transmittances du c), calculer la réponse impulsionnelle.
réponse :
a) Pas difficile. Juste exprimer y(t) sous forme de convolution et bien définir h(t) = convolution(h1(t),h2(t)) et donc H(p)=H1(p)H2(p). Savoir lui expliquer la définition de h(t) en utilisant la définition de la sortie d'un système pour une entrée donnée et l'appliquer aux deux systèmes successivement.
b)Tout balancer. Donner la définition générale (entrée bornée -> sortie bornée), l'exprimer en termes de h(t) (intégrale de |h(t)| existe dans R). Puis donner les conditions sur H(p). La RDC doit contenir l'axe imaginaire. Puisqu'il s'agit d'un système causal, tous les pôles doivent avoir une partie réelle négative (car la RDC est le demi plan droit par rapport aux pôles) et donc tous les pôles de H1(p) et H2(p) doivent satisfaire cette condition puisqu'il s'agit d'un produit algébrique.
c)J'étais parti pour calculer Y(p) totalement, mais c'est trop laborieux. En fait, il suffit de calculer H(p) et puis d'utiliser la définition de la réponse pour une entrée (co)sinusoïdale. On a donc y(t)=a*|H(i*w0)|*cos(w0t-arg(H(p))). j'étais un peu perdu là donc il m'a simplement demandé de calculer le module de H(i*w0). Attention, c'est plus facile ici de ne pas décomposer H(p) en fractions simples.
d)On décompose H(p) en fractions simples et on calcule la transformée inverse par application des résidus (avec la formule du cours). Puisqu'on a un système causal, on n'a que la partie en nu(t). Pour le calcul des résidus, on utilise simplement le théorème 7 des résidus. Bref, pas dur du tout.
AU FINAL :
Voilà, malgré quelques grosses hésitations et certaines choses que je connaissais pas (il aurait bien aimé que je sois plus à l'aise avec la réponse à une entrée sinusoïdale et que je connaisse les courbes de Bode), il m'a mis 15/20 (plus ou moins 1 évidemment). il est pas méchant du tout, et il vous donne des indices quand vous bloquez. Si vous arrivez à embrayer sur ses indices il est assez content et n'insiste pas trop. Par contre il vaut mieux dire cash que vous ne connaissez pas quelque chose plutôt que de dire des conneries, sinon il risque de se fâcher.

MATH-H-201 - 17 Jun 2009

salut salut!
je suis passée ce matin, voila mes questions :
1) determiner le domaine dans lequel Log (z) est analytique (pas bien compliqué, c'est partout sauf sur l'axe réel negatif) et ensuite determiner sa dérivée, utiliser le fait que Log(z) est analytique, et que donc on a dv/dx=-du/dy (cauchy riemann) , d'où d(Log(z))/dz=d(log(sqrt(x^2+y^2))/dx - id(log(sqrt(x^2+y^2))/dy (je preferais dériver log plutot que Arg, mais en soi c'est pas bcp plus compliqué) donc au final on a d(Log(z))/dz= 1/z... et puis la, comme on pouvait s'y attendre, il a enchaîné sur "c'est quoi une fonction analytique?" , cdt de Cauchy-Riemann, résidus, et puis evidemment série de Laurent, et un petit exercice pour voir si je savais de quoi je parlais ; je devais calculer l'integrale de 1/z^3 le long du chemin |z-2i|=3 --> l'intégrale vaut 2ipi*res f(z) , ici, 1/z^3 est son propre devt en série de laurent, donc on voit direct qu'il n'y a pas de terme en 1/z --> res=0-->integrale=0, et puis dvt en serie de laurent de 1/(z-1)(z-2), autour de z=1 (separer en fractions simples) , RDC, et tout et tout.... et puis la, qd j'etais trop fiere de moi et que j'etais chaud patate pour la suite : "qu'est ce que vous savez sur le prinicipe de l'argument".... euh...hum... ben pas grand chose en fait... et y'en a au moins 2 autres qui ont eu cette question aussi ce matin, donc ne faites pas comme moi, lisez cette demo a la con!
ah et si vous savez pas, dites le directement, j'ai essayé de blablater, mais il a clairement vu que je touchais rien sur ce truc et il a pas eu l'air de bcp apprécier que je dise n'importe quoi....
et puis 2e question :
on donne la transmittance isomorphe : H(p)=exp(-p tau) / ((p+a)(p+b)), quelle est la reponse impusionnelle de ce suysteme? --> transf de laplace inverse, en utilisant le fait que un produit algébrique dans le domaine fréquentiel devient un produit de convolution dans le domaine temporel , bref pas très compliqué, et puis il fallait enoncer le theoreme de la valeur finale,et donner les conditions sur a, b et tau pour qu'on puisse calculer la valeur asymptotique de la reponse indicielle (et en passant, c'est quoi la reponse indicielle - c'est la reponse d'un syst, avec la fonction de heaviside comme entrée) et puis comme on peut s'y attendre, stabilité et compagnie...
donc voila, sinon en soi kinnaert est pas bien mechant, mais il aime pas du tout le "bete par coeur" , et puis comme bcp de gens l'ont dit, on passe vraiment mille ans dans le petit local avant qu'il revienne, donc on a laaaaargement le temps de se preparer aux eventuelles questions subsidiaires.... (par contre le sol grince comme pas possible, et c'est chiant comme tout) !
voila, bonne chance a ceux qui doivent encore le passer!!

MATH-H-201 - 17 Jun 2009

Quest 1: calculer la transformée de laplace de s(t) * q(t) et discuter la RDC. Il faut bien dire que elle contient l'intersection des deux RDC de S(p) et Q(p). Et puis calculer la réponse à une entrée sinusoidale (formule générale) et calculer la transfo de fourrier d'une fct sinus en disant que elle respecte pas les cdtions de convergence donc on peut pas la calculer betement mais que en la développant en exponentielle et avec astuce de delta(t) on peut quand meme lui définir une transfo de fourrier en termes d'impulsions de dirac.
Quest 2: définir l'intégrale de f(z) le long d'un chemin élémentaire allant de z0 à z1. Il suffit de le paramétrer (on peut car chemin élémentaire) et donc faire chgmt de variable avec t. Après il faut faire application pour une fct qu'il donne et un chemin qui est une droite allant de 0 à (i-1). Et puis calculer l'intégrale de la fct puissance P(1/2 , z+10) / z sur le contour fermé de rayon 3 centré en -2i. Il faut faire attention au domaine où la fct puissance n'est pas analytique mais ici pas de problème car avec z+10 c'est décalé de 10 vers la gauche et donc elle est analytique partout sur le contour considéré. Donc il suffit d'appliquer formule des résidus ou formule de cauchy ce qui est la mm chose. Pour les domaines c'est bien de faire des dessins au tableau c'est plus facile à voir.
Et si vous avez trop de tps pour répondre à la question, ce qui risque d'être le cas, c'est bien de déjà écrire sur le tableau des trucs qu'il risque de demander ou qu'il va doffice demander comme la stabilité ou causalité.

MATH-H-201 - 16 Jun 2009

Théorie des signaux : fiche 18/28
---------------------------------------
QUESTION:
Enoncer le théorème de la valeur finale.
Quelles conditions pour pouvoir écrire : lim(t->infini)de(x(t))=lim(sigma->0+)de(simga.H(sigma)) en sachant que X(p)=L(x(t)). Justifier votre réponse.
COMMENTAIRES:
J'ai un peu eu du mal pcque je ne connaissais que la formule de la valeur finale, or il nous la donne =S Il est conscient que c'est une question pas très approfondie dans le cours donc il ne m'en a pas trop voulu. Il m'a ensuite posé des questions pendant une demi-heure (stabilité, RDC, causalité, ...).
Question : G(p)=A/((p+a)(p+b)) en sachant que g(x)=0 pour les t<0, calculer g(x).
Réponse : comme g(x) est causale, la RDC est imposée et est le demi-plan droit à droite du pôle le plus à droite. Ici, les pôles sont p=-a et p=-b. Faire un petit dessin (moi j'ai posé a<b et a,b>0). Comme tous les pôles sont à gauche de la RDC, pas besoin de faire la séparation en fractions simples --> on peut utiliser le théorème d'inversion basé sur le théorème des résidus. Les calculs sont très simples et on trouve g(x).
Question : conditions pour que lim(t->infini)de(g(t)) converge.
Réponse : comme dans mon expression de g(x) j'avais du exp(-at) et du exp(-bt), j'ai dit que a et b devaient être positifs (donc ce que j'avais intuitivement posé plus haut pour faire mon dessin correspondait à un système stable car l'axe imaginaire fait partie de la RDC).
Question : si u(t) = cos(w0t) et que H(p)=G(p) de ci-dessus, calculer la sortie y(t) (on considère que a et b respectent les conditions de convergences trouvées ci-dessus).
Réponse : d'après la formule du cours : y(t) = |H(iw0)|cos(w0t+Arg(H(iw0))). Il suffit donc de calculer le module et l'argument de H(iw0t). Rappel : module d'un produit (resp. quotient)=produit (resp. quotient) des modules & Argument d'un produit (resp. quotient)=somme (resp. différence) des arguments.
Fonction d'une variable complexe : fiche 5
------------------------------------------------
QUESTION:
Calculer les intégrales suivantes :
1) 1/z
2) 1/z^3
le long des chemins C1: |z|=1 et C2: |z-1|=1/2
REPONSE:
Pour les deux fonctions, le seul pôle est en z=0.
Pour le C2:
Il n'englobe pas le pôle donc, par Cauchy-Goursat, l'intégrale des deux fonctions sur C2 est nulle.
Pour le C1:
Pour la fonction 1) on peut calculer l'intégrale par le théorème des résidus. On trouve très facilement 2i.pi.
Pour la fonction 2) le pôle est de mutiplicité 3. Donc il va falloir dériver la fonction phi (analytiqueen 0). Comme, pour ici, la fonction phi vaut 1, la dérivée est nulle. Donc l'intérgrale est nulle.
COMMENTAIRES:
Il m'a ensuite demandé d'autres manières pour calculer l'intégrale de 1/z. Il m'a fait passer par le Log(z) qui est la primitive de 1/z. Il m'a demander toutes les questions possibles liées à Log. Ensuite, j'ai du calculer l'intégrale en paramétrisant le contour. Il m'a posé d'autres petites questions vicieuses qui nécessitaient une bonne compréhension du cours.
Conclusion:
-------------
Je vous conseille, si vous avez le temps, de lire quand même une fois l'entièreté du cours en essayant de comprendre ! Il aime pas le "par coeur" et le voit tout de suite. La question qu'on tire au sort ne vaut en général même pas la moitié des points de la question, donc ne stresser pas si vous ne savez pas trop y répondre. Préparer vous juste pour la suite des questions.
Je terminerai en vous disant que si vous ne connaissez pas une réponse, abstenez vous (ou réfléchissez beaucoup). Il m'a dit cash qu'il préférait ne rien entendre, plutôt que des bêtises ^^
PS : vive les vacances 🙂

MATH-H-201 - 16 Jun 2009

Je (Alexandre Heynderickx sur le compte de Mehdi) suis passé ce matin et voilà les questions que j'ai eu (on tire les questions au hasard donc vous dire que c'était les questions 2 puis 3 ne vous avancera pas à grand chose):
Donner Y(p) en fonction de U(p) et H(p), sachant que y(t) est la réponse d'un SLP avec comme entrée u(t) et reponse impulsionelle h(t), démontrer:
y(t) = h(t)*u(t)
=> Y(p) = H(p).U(p)
et puis qques sous-questions, genre: c'est quoi une reponse impulsionelle (reponse d'un SLP à une impulsion de Dirac) et quel est la reponse de cette SLP à u(t) = sin(2t):
y(t) = abs(H(i.2))).sin(2t + phi) (puisque omega = 2)
Calculer une integrale de 1/((z.z+4)(z.z+1)) sur le contour
- abs(z) = 1/2
- abs(z) = 3/2
La première est égale à zero, puisque ne contient pas de pôle (est analytique dans le contour)
La 2ème et pour finir égal à 0 (car le Residu(z=i) = -Residu(z=-i))
Et puis de nouveau, d'ou viennent ces residus, ainsi que la RDC de la serie de Laurent en (z-i)
Voilà plus ou moins tout, j'ai l'impression que ce sont les memes questions chaque année, il doit y en avoir 20 pour chaque partie (anacomp et automatique)
Bonne chance aux suivants!
Fatal

MATH-H-201 - 16 Jun 2009

Je (Samy Lefebvre sur le compte de Mehdi) suis passé ce matin et voilà les questions que j'ai eu (on tire les questions au hasard donc vous dire que c'était les questions 2 puis 3 ne vous avancera pas à grand chose):
Etablir les équations de Cauchy-Riemann et démontrer qu'elles sont une condition necéssaire à ce que la dérivée existe.
Etablir les transfo de Laplace et la région de convergence de la fonction en créneaux causale.
C'est bon de préciser que: comme la fonction est causale la RDC est sigma>0
sous-question: si on applique une entrée sinusoidale à une H(p) genre e^2p / p+3 quelle est la sortie ?
Il faut dire que si l'entrée est sinusoidale:
y(p)=abs(H(iw°)) sin (w°t + argH(iw°) ) où w° est la pulsation de l'entrée...

MATH-H-201 - 15 Jun 2009

Je pense que ce qui est écris ci dessous est correct mais bon j'ai peut-être oublié une partie de question, fait une (des) faute(s) ou quelque chose comme ça ! ^^
1° Théorème des résidus :
~~~~~~~~~~~~~~~~~
Question :
-----------
Énoncer et démontrez le théorème des résidus. Définir la notion de résidu. Monter en quoi le résidu intervient dans le calcul de la transformée inverse.
Réponse :
-----------
Théorème :
intégrale sur C de ( f(z)dz ) = 2*pi*i*somme de k=1 jusque n de (Rés en zk de f(z))
Démo :
On peut faire le même dessin que dans le cours en entourant les pôles par des contours Ck. On a alors (par
Cauchy-Goursat):
intégrale sur C de ( f(z)dz ) = somme de k=1 jusque n de (intégrale sur Ck de ( f(z)dz ))
Or on sait que les coefficients de la série de Laurent sont :
bn= n!/(2*pi*i)*intégrale sur C de (f(z)dz/(z-z0)^(-n+1))
Si n=1 -> on tombe sur l'intégrale qu'on a plus haut divisée par 2*pi*i.
On a donc bien démontré que Rés de (...)=b1.
Pour la fin de la question, on peut dire que :
x(t)= somme sur les pôles à gauche ( Rés en chaque pôle à gauche {X(p)*e^pt}*nu(t) ) - somme sur les pôles à droite ( Rés en chaque pôle à droite {X(p)*e^pt}*nu(-t) )
2° Fonction linéaires, permanentes et stabilité :
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Question :
-----------
Pour les fonction suivantes dites si elles sont :
a) linéaires
b) permanentes
c) stables
1° y(t) = 5*t*u(t)
2° y(t) = 3*sin(t)*u(t)
3° y(t) = intégrale de - l'infini à t de (u(tho)*e^(t-tho) d(tho))
4° H(p)=1/((p+11)(p+1))
Réponse :
-----------
Un système est linéaire si phi(lamda1(u1(t))+lamda2(u2(t)) = lamda1*y1(t)+lamda2*y2(t)
Un système est permanent si
phi(u(t-t0)) = y(t-t0)
Un système est stable si à une entrée bornée correspond une sortie bornée.
Je vous laisse le plaisir du calcul ! =)
En pensant bien que dans le 3° on voit apparaitre un produit de convolution et que le 4° est une transformée de Laplace (-> y(t)=h(t)*u(t) ) ! Donc pour la permanence, il faut passer à l'expression de y(t) et utiliser le glissement dans le temps. La condition nécessaire pour la stabilité de 4° est que les pôles soient négatifs. Si c'est le cas, en appliquant les résidus (justement ce qu'on à vu plus haut), on voit apparaitre des exponentielles négatives -> bornées.
Voilà je pense que c'est tout. Pour le 2ème question, fait attention, je gère moins ^^ donc la solution n'est pas excellente. La première ça va je pense mais je ne suis pas parfait ! 😉
Bon travail

MATH-H-201 - 15 Jun 2009

1ère question
Demontrer la symétrie de la transformée de Fourier.
Montrer que la transformée de fourrier d'un x(t) réelle impaire donc une X(iw) impaire et purement imaginaire.
2ème question.
Soit C un chemin élémentaire allant de z0 à z1. Soit f(z) est une fonction continue. Définisser l'intégrale de f(z) dz le long du chemin C
Appliquer le résultat pour f(z) = x+y² + ixy³
Il m'a poser des questions subsidaires, c'est souvent des définition, des théorème, de la logique
Exam normal

MATH-H-201 - 30 Jun 2008

Salut, je suis l'un des tout derniers à passer..
1ère question:
--------------
Démontrer que:
Lim f(Z)=w0 ssi Lim u(x,y)=u0 et Lim v(x,y)=v0
avec w0=u0+iv0 z=x+iy
c'est simple, il faut tapper la démo dans le cours.
Questions subsidiaires:
-----------------------
1/C'est quoi une fonction nalytique ?
2/ Calculer l'intégrale de 1/((2*z^2+1)^2) sur le chemin fermé |z-2i|=10.
Il veut juste savoir comment on fait pour la calculer, il veut donc qu'on parle des résidus pour enchainer avec..
3/C'est quoi un résidu, c'est le coefficient de 1/(z-z0) dans le développement en série de Taylor, vous avez dit Taylor??
4/Donner la partie principale du dévp. en série de Taylor de la fonction donnée autour d'un point (pour l'exemple donné c'était 1/(racine(2))*i), bref qques questions sur Taylor.
2ème question:
--------------
On donne la transmittance isomorphe suivante:
H(p)=exp(-tau*p)/((p+a)*(p+b)) avec tau appartient à R+ et a,b
appartiennent à R
1/Donner la réponse impulsionnelle causale du système.
J'ai calculer h(t) en utilisant la méthode des séparations en fractions simples(assez cool comme méthode :D) Puis j'ai dis que Re(p)>-a (si a&ltb)ou Re(p)>-b (si a>b).
3/Quelles sont les conditions pour appliquer le th. de la valeur finale.
C'est dans le cours.
4/En supposant que ces conditions sont satisfaites, calculer Lim h(t) pour t->infini + conditions sur tau, a et b.
Lim h(t) pour t->infini = Lim sigma*H(sigma) pour sigma->0+
Pour les conditons je savais pas trop quoi dire, j'ai donc d'abord calculer la Lim, j'ai trouvé 1/(a*b) et puis j'ai dit qu'il faut que a et b soient différents de 0.
5/
-Si on a une réponse indicielle, que devient la limite.
Il faut juste diviser par sigma
-Pq on a ce résultat?
h(t)*nu(tau) (produit de convolution) = intégrale de -infini à t de h(t)dtau = H(p)/p et c'est une des propriétés de la transformée de Laplace
il était content avec ça et il m'a mis 16/20
Comme ça a déjà été dit par bcp, le prof est assez cool et il vous met à l'aise
Bonne chance pour les ba2 de 08/09 😀

MATH-H-201 - 27 Jun 2008

C'est une idée ou il y a presque la moitié de ce que j'avais écrit qui a disparu?
Bon, désolée, je réessaye (si ça marche pas je laisse tomber):
Fiche n°13
Soit C chemin admissible fermé simple parcouru dans le sens positif, p0
pôle d'ordre beta.
Démontrer que int(f'(z)/f(z))dz = -2*pi*i* beta
Bref presque la démo du principe de l'argument.
Attention, je me suis fait avoir lorqu'il m'a demandé quel est le domaine
de convergence de cette série de Laurent:
d'habitude on a R1y(t)=u(t)*h(t)
Pourquoi ça s'appelle "réponse impulsionnelle"?
(Seigneur, qu'est ce que j'ai à me taper une question pareille!!!!!!!!)
En gros, c'est parce que si on met comme entrée l'impulsion de Dirac on verra à la sortie...l'impulsion de Dirac , c'est donc la réponse à l'impulsion...
(bon d'accord j'était un peu dans la lune quand il m'expliquait...)
b)conditions pour avoir syst stable:
j'ai dit qu'il faut que intégrale de -infini jusqu'à + infini de
|h(t)|soit borné donc RDC contient l'axe imaginaire, comme par hasard,
il me demande pourquoi @o@? En fait ça à avoir avec la première cond de Dirichlet, intégrale de -infini jusqu'à + infini de |x(t)|exp(-sigma* t)
doit être borné, RDC = ens. des val. pour llesquelles l'intégrale conv. donc si RDC contient l'axe imaginaire, sigma=0, et donc ça revient à la cond. ci-dessus.
(qlq'un me suit encore? pas grave, je crois que le prof n'a pas trop l'air
de me suivre non plus, en tout cas il m'a pas posé de question en plus là
dessus )
c)on donne H1(p) et H2(p) en série et on demande de calculer la réponse pour une entrée cos => formule magique!!! Mais attention, ne faites pas la
même erreur classique: omega est DONNE donc ne laissez pas d'omega dans vos réponses, c'est qlq chose qu'il insiste mais dont personne n'a fait
attention apparemment -_-||| (personnellement j'ai fait cette erreur DEUX fois ;p )
d)Calculer la réponse impulsionnelle de H1,H2, formule basée sur le théorème des résidus, soyez prudent dans vos calculs!!! (pas envie d'expliquer l'erreur que j'ai fait, c'était une bête distraction...)
Conclusion: il m'a dit que j'étudie trop par coeur -_-||| (sorry mais retaper ces démo de dingue par pure intuition c'est en dehors de mes capacités...)
Voilà, ça fait un long post, j'espère que ça va servir.
Bon courage!!

MATH-H-201 - 27 Jun 2008

Fiche n°13
Soit C chemin admissible fermé simple parcouru dans le sens positif, p0 pôle d'ordre beta.
Démontrer que int(f'(z)/f(z))dz = -2*pi*i* beta
Bref presque la démo du principe de l'argument.
Attention, je me suis fait avoir lorqu'il m'a demandé quel est le domaine de convergence de cette série de Laurent: d'habitude on a R1
y(t)=u(t)*h(t)
Pourquoi ça s'appelle "réponse impulsionnelle"? (Seigneur, qu'est ce que j'ai à me taper une question pareille!!!!!!!!)
En gros, c'est parce que si on met comme entrée l'impulsion de Dirac on verra à la sortie...l'impulsion de Dirac , c'est donc la réponse à l'impulsion...(bon d'accord j'était un peu dans la lune quand il m'expliquait...)
b)conditions pour avoir syst stable: j'ai dit qu'il faut que intégrale de -infini jusqu'à + infini de |h(t)|soit borné donc RDC contient l'axe imaginaire, comme par hasard, il me demande pourquoi @o@? En fait ça à avoir avec la première cond de Dirichlet, intégrale de -infini jusqu'à + infini de |x(t)|exp(-sigma* t) doit être borné, RDC = ens. des val. pour llesquelles l'intégrale conv. donc si RDC contient l'axe imaginaire, sigma=0, et donc ça revient à la cond. ci-dessus. (qlq'un me suit encore? pas grave, je crois que le prof n'a pas trop l'air de me suivre non plus, en tout cas il m'a pas posé de question en plus là dessus )
c)on donne H1(p) et H2(p) en série et on demande de calculer la réponse pour une entrée cos => formule magique!!! Mais attention, ne faites pas la même erreur classique: omega est DONNE donc ne laissez pas d'omega dans vos réponses, c'est qlq chose qu'il insiste mais dont personne n'a fait attention apparemment -_-||| (personnellement j'ai fait cette erreur DEUX fois ;p )
d)Calculer la réponse impulsionnelle de H1,H2, formule basée sur le théorème des résidus, soyez prudent dans vos calculs!!! (pas envie d'expliquer l'erreur que j'ai fait, c'était une bête distraction...)
Conclusion: il m'a dit que j'étudie trop par coeur -_-||| (sorry mais retaper ces démo de dingue par pure intuition c'est en dehors de mes capacités...)
Voilà, ça fait un long post, j'espère que ça va servir.
Bon courage!!

MATH-H-201 - 27 Jun 2008

1e question:
Donner la transformée de Fourier de x1(t)*x2(t) (produit de convolution) et démontrer l'obtention du résultat, sachant que x1, x2 et x vérifient les conditions de Dirichlet. (facile, démo du cours)
Sous-questions:
Quelle est la 1e condition de Dirichlet -- int |x(t)| de -inf à + inf converge.
La fonction cos(t) respecte-t-elle cette condition? -- Non car si on fait le dessin, on voit qu'en integrant sur tout l'espace la surface tend vers l'infini, comme on prend la valeur absolue de cos.
Et pourtant, cos(t) admet une transformée de Fourier, pourquoi et quelle est-elle? -- on décompose en exponentielles complexes et on sait que e^(iw0t) admet 2 pi Dirac(w-w0) comme transformée, on obtient donc qqch comme pi Dirac(w-1)+ pi Dirac(w+1).
Puis il m'a demandé la réponse d'un système caractérisé par H(p)=e^(-p)/(p+a) à l'entrée sin(t) appliquée depuis l'infini -- A|H(iw)|sin(w0t+arg(H(iw))). Faut dire qu'il faut que le système soit stable et causal pour qu'on puisse utiliser la transfo Fou au lieu de celle de Laplace donnée, donc Re(p) plus grand que -a (pour que RDC inclue axe Im).
Puis j'ai du calculer la réponse impulsionnelle-- H(p) en temporel donc. On transforme d'abord 1/(p+a) en e^(-at) nu(t), puis on applique le glissement dans le temps, donc e^(-a(t-1)) nu(t-1) .
Je crois que c'était tout pour cette question, voyant que je connaissais bien je suppose qu'il a pas jugé nécessaire de me poser des questions chiantes sur RDC etc...
2e question:
calculer integrale sur C de dz/z lorsque C: |z|=1 et puis lorsque C: |z-1|=1/2 . Puis la meme chose avec dz/z^3.
--Dans le premier cas ca donne 2 pi i par Cauchy 1, puis 0 car le pole z=0 n'est pas compris dans C, donc appliquer cauchy goursat.
Pour la 2e fonction, ca donne 0 dans les 2 cas, d'abord par le theoreme des residus (par ex), puis cauchy-goursat.
sous-questions:
definition fonction analytique, expliquer histoire de poles.
dans le 2e cas, n'aurait on pas pu voir que le résidu = 0 directement?
-- oui car 1/z^3 est son propore developpement en serie, et on voit que le terme devant 1/z est nul, donc residu nul.
expliquer ce qu'est un developpement en puissances de Laurent, un résidu
-- on donne la def et on explique l'histoire du b1 et il est content
Voila je me souviens plus si il y avait d'autres sous questions.
J'ai l'impression que plus tu connais bien, moins il pose de sous-questions chiantes. Vu que j'ai eu la chance d'avoir des questions faciles, ca a donc bien été, mais bon j'sais pas si c'et pour tout le monde.
Sinon comme deja dit, le temps d'attente est ENORME. Apres avoir ecrit au tableau la 1e question, j'ai attendu presque une heure, puis après la 2e environ une demie. Donc j'suis resté près de 3 heures...
Le prof je l'ai trouvé cool et pas avare des points.
Bonne chance aux années futures vu que quasiment tout le monde a fini... et vive les vacances!!

MATH-H-201 - 26 Jun 2008

- Donner les conditions sur z0, C et f(z) pour la formule de Cauchy et redémontrer l'égalité :
f(z0) = 1/(2.Pi.i) int[f(z)/(z-z0)] dz
Bien que je ne connaissais pas la démo du lemme 1/(2.Pi.i) int[1/(z-z0)] dz = 1, il m'a posé plein de questions pour que j'y arrive...
Sous question, poles 1/[(4z²+1)²(Z-5)] ou qqch du genre et calcul d'un des résidu. Ne pas oublier de mettre le 4 en évidence. J'étais un peu distrait et n'avait pas remarqué non plus que 4z²+1 était au carré donc le résidu est d/dz phi(z0).
- Dire si 4 signaux qu'il donne sont linéaires, permanents, stables. Pour le dernier signal, il ne donnait que la transmittance isomorphe H(p) = 1/[(p+11)(p+1)] avec Re(p) > -1, on trouve que h(t) = 1/10 [e(-t) - e(-11t)] nu(t) ou qqch du genre...
Questions sur la stabilité (RDC contient l'axe imaginaire ou int|h(t)| borné). Bien maitriser les RDC et les conditions en tout genre...

MATH-H-201 - 26 Jun 2008

Hello,
Alors les deux questions que j'ai eues sont ....
1) Enoncer Cauchy Riemann et démontrer pourquoi c'est une CS (ou une CN? CNS? sais plus ... :p) qu'une fonction f(z) (qui vérifie donc Cauchy Riemann) admet une dérivée. en gros faut retaper le théorème, et la démo qui va avec...
Il a ensuite dévié sur un calcul de résidus facile (sauf si on oublie que les termes sont au carré^^) et après comme on peut s'en douter il bifurque avec série de Laurent (aspect général) RDC, ...
2)Il fallait déterminer la transformée de laplace unilatérale de la dérivée troisième de x par rapport à t... et après en déduire la valeur de L(X(t)) d'un système du genre dx/dt au cube + 6 dx/dt carré + 11dx/dt + 6x=0.
Pour la première partie j'ai utilisé la définition de Laplace unilatérale (lintégrale de o- à l'infini) et je l'ai intégré trois fois par parties.
Pour la deuxième partie, on obtenait un numérateur de l'ordre 2 et un dénominateur d'ordre 3. Fallait factoriser tout ca... (vive horner)On avait alors les pôles et là il a évidemment demandé la zone de convergence et puis de stabilité....
Il a ensuite fait un peu le chien avec des réponses à une entrée sinusoidale depuis l'infini et là j'ai un peu cafouillé avec les arguments d'une exponentielle complexe...
Bref, Kinnaert aide un peu quand vous savez pas ( en tout cas il nous fait comprendre que ce qu'on dit est faux) mais par contre, je trouve que lorsque je maitrisais un peu il voulait me déstabiliser en me faisant douter.
Bonne merde à ceux qui n'ont pas encore fini et pour les générations futures!

MATH-H-201 - 25 Jun 2008

désolé je poste mes questions tard et j'espère que je ne fais pas d'erreur..
1) démontrer que l'intégrale de f'/f sur un contour contenant un zéro de multiplicité alpha de f vaut 2 pi alpha. Pas compliqué c'est dans la démo du principe de l'argument. après viennent les ptis détails chiants du genre pourquoi est-ce qu'on peut dire que si g est analytique(utilisé dans la démo..) , alors ses dérivées sont analytique, mais ce sont des questions surtout pour voir si vous comprenez de quoi vous parlez.
2) déterminer une transformé de fourrier d'une expression..ca devai ressembler à un truc du genre sin(t).sin(2t)/2pi.t² et il donne en indication le résultat pour sin(t)/2pi t
alors ne faites pas comme moi et n'essayez pas de transformer le produit des sinus en une somme de fonction trigo (oui j'étais complètement cinglé..) mais utilisé plutot la propriété pour le produit de deux fonction qui donne une convolution dans la transformé de F
après j'ai du donner le résultat d'une convolution (graphiquement ou par calcul) n'oubliez pas que l'intégrale de l'impulsion de dirac sur l'espace entier vaut 1..
enfin un tit truc à la c.. donner la sortie du système pour une entrée à fonction sinusoidale (appliqué depuis un tps infini!!!!!)
conseil: si vous avez du temps devant vous, (vous en aurez croyez moi..) essayé d'imaginer les question qu'ils pourrait poser et éventuellement en mettre les résultats au tableau.. c'est plus facile que de débiter ca en direct!! arg.. sinon il est sympa 🙂
bonne M**

MATH-H-201 - 24 Jun 2008

Première question :
Cauchy 1 : Savoir démontrer et donner les hypothèses sur f(z), C et z0
Sous question: Un peu de tout en passant par les séries de Laurent (convergence, énoncé, ... ) via la résolution de (intégrale de) 1/z --> Pourquoi ca ne marche pas avec la primitive?, ...
Deuxième question:
Quelle est la transformée de Fourier de "sin(t)*sin(t/2)/(pi*t²)" en sachant que la transformée de Fourrier de "sin(Wt)/(pi*t)" vaut soit 1 si |w|W
Pour cette question, je l'ai résolue grâce à la formule :"s(t).q(t)=(1/2pi) S(iw)*Q(iw)" avec s(t)=sin(t)/(pi*t) et q(t)=sin(t/2)/(pi*t)
Pas d'inquiétude si vous tomber sur une discussion en fonction de w, c'est normal...(j'avais 3 intervalles différents et il ne m'a pas dit que c'était faux 🙂 je vous le dit pour vous éviter des mauvaises surprises 😉 )
Sous-questions : il donne H(p), quelle est la réponse indicielle, ses valeurs asymptotique, ... (vraiment beaucoup de questions, il passe beaucoup de chose en revue mais je me souviens plus trop quoi...)
Voila tout...bonne chance pour ceux qui ne sont pas encore passés

MATH-H-201 - 24 Jun 2008

Les deux questions que j'ai tirÃ©es sont les suivantes :
1) DÃ©montrer l'expression du dÃ©veloppement en sÃ©rie de Taylor (il ne dit pas que c'est Taylor, il donne juste l'expression sommatoire ainsi que celle des An).
Comme on employait le thÃ©orÃ¨me ML dans la dÃ©mo et que j'avais du temps Ã perdre, j'ai fini par mettre l'Ã©noncÃ© du thÃ©orÃ¨me (et il a paru intÃ©ressÃ© par le fait que je l'ai fait donc ... p-e Ã©tait-ce une question qu'il m'aurait posÃ©e si je ne l'avais pas fait??).
Il m'a demandÃ© de lui expliquer tout ce que j'avais inscrit au tableau.
Ensuite, il m'a posÃ© quelques petites questions, notamment la dÃ©finition de l'analycitÃ©. Il m'a demandÃ© Ã©galement d'Ã©valuer l'intÃ©grale de f(z)=1/(4zÂ²+1) sur le contour |z-2i|=10. J'ai utilisÃ© les rÃ©sidus.
2) On a un systÃ¨me avec une entrÃ©e U(p) et une sortie Y(p). On a deux systÃ¨mes en sÃ©rie H1(p) et H2(p). 4 sous questions :
a) DÃ©terminer la rÃ©ponse impulsionnelle du systÃ¨me entier.
Comme je n'avais pas compris exactement comment il voulait que je l'exprime, j'ai d'abord Ã©crit que H(p)=H1(p).H2(p) en montrant comment on peut l'obtenir (cours). Et puis h(t)=dÃ©finition avec H(p).
En fait, il voulait que j'Ã©crive cette rÃ©ponse en terme de h1(t) et h2(t). Donc utiliser le fait que produit de transformÃ©e = convolution de h1(t) et h2(t).
b) StabilitÃ© : quelles conditions sur H1(p) et H2(p) ?
LÃ , j'ai commencÃ© avec la premiÃ¨re condition de Dirichlet. Puis sur le fait qu'il faut que l'axe imaginaire appartienne Ã la RDC. Il m'a demandÃ© de justifier cela : avec la 1ere condition de Dirichlet, on est assurÃ© que la transformÃ©e de Fourier existe. Et pour passer de la transformÃ©e de Fourier Ã celle de Laplace, on pose sigma = 0 dans p=sigma+iw.
c) H1(p)= exp(-3p)/(p+1) et H2(p)=1/(p+4). Evaluer la rÃ©ponse Ã l'entrÃ©e u(t)=cos(2t), si l'on sait que cette entrÃ©e est appliquÃ©e depuis t->-infini.
On peut donc utiliser la relation y(t)=|H(iw)|cos(2t+ arg(H(iw))), avec w=2 ici. On avait dÃ©jÃ trouvÃ© au a) que H(p)=produit des H1 et H2. Donc c'est juste calculer le module et l'argument.
d) Utiliser l'expression trouvÃ©e au a) pour exprimer la rÃ©ponse impulsionnelle du systÃ¨me donnÃ© en c).
Comme je n'Ã©tais pas arrivÃ©e lors de la prÃ©paration Ã trouver ce qu'il voulait prÃ©cisÃ©ment au a), j'ai utilisÃ© les propriÃ©tÃ©s des transformÃ©es (dÃ©calage temporel) et la dÃ©finition L(exp(at).x(t)) = 1(p+a). J'ai exprimÃ© H(p) comme une somme de fraction simple (en mettant en Ã©vidence exp(-3p)).
En gros, comme aux tps.
Il ne m'a pas posÃ© d'autres questions aprÃ¨s.
Sinon, en effet, le prof est trÃ¨s sympa, quand il remarque que l'on ne voit pas trop ce qu'il veut qu'on fasse, il nous guide, en posant des questions qui nous mÃ¨nent Ã la rÃ©ponse. Et lorsqu'on se plante un peu, il dit "tu es sÃ»r(e)?".
Sur la maniÃ¨re dont se dÃ©roule l'examen : c'est premier arrivÃ©, premier qui commence... Il en fait rentrer 4 Ã la fois au dÃ©but, et parfois plus tÃ´t (style 8h15), et puis, c'est lorsqu'il y en a un qui a fini qu'un autre entre. L'examen dure facilement 1h30, si pas 2h, mais on a largement le temps de dÃ©stresser... et de rÃ©pondre entiÃ¨rement aux questions.
Bon courage Ã ceux qui doivent encore le passer.

MATH-H-201 - 22 Jun 2008

Première question:
Déterminer le domaine où la fonction Log(z) est analytique et déterminer sa dérivée. J'ai d'abord déterminé le domaine où la fonction est continue (partout sauf sur l'axe réel négatif), puis j'ai utilisé Gauchy-Riemann. Après (questions supplémentaires), il m'a demandé de calculer une intégrale centré en Zo de rayon R (avec des valeurs numériques), j'ai utilisé les résidus. Puis avec cette même intégrale, il m'a demandé la forme générale de la série de Laurent en i. Et comment déterminer la valeur de l'intégrale à partir de cette série (résidu = b1). En général, quelle que soit la question tirée, il vous pose des question sur l'ensemble de la matière.
Deuxième question:
J'ai du déterminer la transformée de Fourier d'une expression assez moche et pour cela, je connaissais la transformée de Fourrier d'une expression similaire (aide). Comme x(t)=x1(t).x2(t), avec X1(iw) et X2(iw) qu'on pouvait déterminer grâce à l'aide, j'ai du utiliser les propriétés des transformées et calculer le produit de convolution pour trouver X(iw). J'ai du superposer X1(iw) et X2(iw) pour trouver les différents domaines où la fonction était définie.
Après (questions supplémentaires), il m'a posé plusieurs questions sur les SLP. Notamment:
-si le système est stable, H(iw)=H(p) car Re(p)>-a (a étant positif) or p=o+iw donc on peut prendre o=0.
-si le système est stable, il est correct de dire que F(y(t))=Y(iw) où y(t)=h(t)*u(t) et Y(iw)=H(iw).U(iw) gràce aux conditions de convergence. En effet si le sytème est stable, cela implique que si u(t) est borné, alors y(t) est borné. Donc int(h(t)dt) de -inf à +inf est une condition nécessaire et suffisante pour que F(y(t))=Y(iw).
Faites attention il regarde à chaque détail mais il nous aide aussi quand on est bloqué pour voir jusqu'où on connait la matière.

MATH-H-201 - 22 Jun 2008

Jsuis passée avant hier.
1) Première partie
Soit C un chemin admissible fermé parcouru dans le sens positif. D est le domaine intérieur à C. Une fonction f(z) analytique sur CUD et qui possède un zéro z0 de multiplicité alpha (z0 est intérieur à C). Il faut montrer que l'intégrale sur le contour fermé C de f'(z)/f(z) = alpha* 2*pi*i
Cette question a déja été développée dans des posts des années précédentes. Il faut partir de la définition d'une fonction analytique possédant un zéro : f(z) = g(z)*(z-z0)^alpha Il faut bien précisé que g(z) est analytique et non nulle en z0 (de par la déf.)
Ensuite faut dérivé f(z) (dérivé d'un produit de fonction) et faire le quotient.
Ensuite on passe à l'intégrale sur C . Alors là, faut cinder l'intérgale en 2 partie. D'un côté on aura g'(z)/g(z). Comme g'(z) est analytique grâce à Cauchy 2, on peut dire que l'intégrale est nulle par Cauchy-Goursat. Comme autre partie, on a [alpha/(z-z0)]. On peut résoudre sa de plusieurs façons. Moi je l'ai fait par le Lemme pr démontrer Cauchy 1.
En expliquant votre démarche, il pose quelques petites questions, du genre : c'est quoi analytique, c'est quoi Cauchy 2, pourquoi tu peux utiliser ici le Lemme, ...
Et après sa, il te pose encore d'autres question pour passer en revue toute la matière du genre : voilà une fonction, calcule moi son intégrale (par la méthode des résidus), calcule moi un résidus, fait moi le développement de Laurent par rapport a ce résidu, RDC de la série de Laurent que tu viens d'écrire, ... En gros, il a TOUT passé en revue.
2) Systèmes
Détermine la linéarité, permanence et stabilité des systèmes suivants :
a/ y(t) = 5t.u(t) (ATTENTION, c'est un simple produit, pas convolution)
b/ y(t) = sin t . u(t)
c/ y(t) = int de moins l'infini à plus l'infini de ( u(tau).exp(3t-tau) dtau)
d/ H(p) = 1/[(p+11)(p+1)]
J'ai bcp galéré pour cette question pcque sa parcours, mine de rien, toute la matière !! Il a vu que j'avais du mal donc on a réfléchi "ensemble". Y a certaines fonctions (désolé, me rapelle vrmt plus très bien) qui sont des expression type de SLP, donc c'est doffice linéaire et permanant. Pour la stabilité, c'est des définitions déférentes pour chaque système :s Je me rapelle que pour la c/ faut utiliser la première condition de Dirichlet (yeaaaaah, trop facile ...).
Enfin bref, je me suis méchamment planté sur la deuxième, mais j'ai bien réussi la première (heureusement). Et il m'a dit que c'était quand même réussi donc voilà, pas perdre espoir, et essayer de lui montrer le maximum de choses que vois connaissez.
PS : soyez pas déstabilisé par la posture de sa tête ^^

MATH-H-201 - 22 Jun 2008

Première question:
on a une entrée u(t), une sortie y(t) et une réponse impulsionnelle h(t). donner la relation entre u, y et h :y(t) = u(t)*h(t) // produit de convolution et puis le développer en intégrale.
Puis il nous donne les 3 fonctions de Laplace bilatérales des 3 fonctions et on doit donner la relations en Y(p), U(p) et H(p): Y(p) = H(p) . U(p) //simple produit + démo qui est dans le cours + RDC
questions subsidiaires: convergence, matrice de transmittance, il donne un exemple, il faut lui expliquer la stabilité, la causalité. Puis il donne une entrée sinusoïdale et il faut lui donner la réponse (formule du cours).
Deuxième question:
Il donne une intagréla à calculer avec 2 contours z = |1/2| et z=|3/2|
int sur C de 1/( (z+2)^2 * (z+1)^2 )
Elle vaut 0 dans les deux cas (Cauchy Goursat pour 1 et Résidus pour le 2)
Puis il commence à poser pleins de trucs sur les séries de Laurent, expliquer ce qu'est un résidu, analytique, rayon de convergence (savoir lui faire un ptit dessin).
Je vous conseille de bien connaitre dans les détails les séries de Laurent, la déf d'une fonction analytique, la causalité, stabilité etc... car ces questions resortent dans 90% des exams oraux!
Sur ce , bonne chance à tous !!!

MATH-H-201 - 22 Jun 2008

1) Démo de la transformée de Laplace d'une convolution + convergence
Sous-questions : réponse impulsionnelle, valeur asymptotique de la réponse indicielle (->théorèmes taubériens), avec toujours des questions sur les conditions d'applications (Dirichlet, stabilité...)
2) Vérifier le principe de l'argument pour :
a) f(z) = 1/z^3 , Chemin : abs(z) = 1
b) f(z) = 2(z-4), Chemin : abs(z-3) = 1
En fait c'est pas très compliqué, il suffit d'exprimer les chemins sous la forme z(t) = exp(it) (resp. z(t) = exp(it) + 3), puis de faire f(z(t)) et de voir que le nombre d'enroulements autour de l'origine du chemine f(z(t)) est bien donné par T = Z - P où Z et P sont les zéros et pôles à l'intérieur du chemin initial.
Sous-questions : il donne une fonction f(z) = (z-2)/[(10z-20)^2 * (z+3)] , expliquer comment trouver une série de Laurent qui permmette de déterminer le résidus en z = 2 -> développement en série de Taylor de z-2/z+3 autour de 2 (il demande pas de le faire, juste de donner la forme générale de la série de Laurent et de dire qu'on fait un dév. de Taylor...), et bien entendu le domaine de convergence de cette série (faire un petit dessin avec anneau où le petit cercle est autour de z=2 et le grand passe par z=-3, en disant que le petit tend vers 0)
Comme déjà dit par les autres, il est cool, il met bien sur la voie quand il voit qu'on a pas trop compris ce qu'il demandait, il corrige dès qu'on commence à dire des conneries pour qu'on ne s'enfonce pas trop...
Et on a effectivement tooooout le temps de réfléchir à comment on va répondre (ou pas) à toutes les sous questions qu'il pourrait poser sur le sujet, et même sur tous les autres sujets tant qu'on y est.

MATH-H-201 - 21 Jun 2008

1ere question
-------------
Démonstration de Taylor. J'ai bien fait toute la démo.
Après il m'a posé des questions sur la région de convergence et d'autres petites questions bien chiante que tu sais pas trop bien répondre si tu connais juste bien la démo par coeur mais pas grand chose autour.
2eme question
-------------
On donne le dessin d'une transformée de fourrier X(iw) (c'est un triangle).
Il faut tracer la transformée de y(t) = (cos2t + cos5t).x(t) (x(t) étant la transformée inverse de X(iw)).
Pour ça j'ai transformé (cos2t + cos5t) en transformée de fourrier et puis comme c'est une fonction périodique on peut utiliser la relation: cos(w0t) => pi*delta(w+w0) + pi*delta(w-w0). Après j'ai dit qu'il y avait une impulsion quand w+w0 = 0 ou w-w0=0 et donc on peut retracer le graphe.
Le graphe que j'ai dessiné était tout à fait correcte.. parcontre il m'a dit que c'était du bol et qu'il fallait calculer ca autrement via les propriétées d'une convolution etc etc.. même si mon argumentation était correcte.. enfin en tout cas il ne m'a pas dit que c'était faut, il voulait juste voir ça autrement.
Donc en résumé j'avais répondu correctement aux deux questions mais il m'a dit que je connaissai trop par coeur et que c'était trop superfiel comme étude (il n'a pas tort). Bref j'ai 9/20 et j'ai trop la haine :D. Je trouve que pour une fois il n'a pas été juste. J'avais répondu aux questions et c'est les petites questions a coté qui m'ont foutu dedans. Je méritait pas 12 peut-etre meme pas 11 mais en tout cas 10! (ce qui aurait été suffisant).
Tout ça pour vous dire qu'il ne suffit pas de connaître ces démos parcoeur. Il faut comprendre ce qu'on fait..

MATH-H-201 - 21 Jun 2008

première question :
soit y(t), u(t), h(t), exprimer Y(p) en fonction de U(p) et H(p) (en gros transformée de Laplace d'une convolution).
Il pose pas mal de questions après sur la région de convergence (pourquoi c'est ca? ca représente quoi géométriquement?..) donc faut pas simplement connaître la démo...
deuxième question :
série de Laurent en puissance de z avec f(z)= -1/(z-1)(z-2) pour |z| supérieur a 2 et z compris entre 1 et 2.
La aussi il vous posera des questions sur la convergence...
vous avez tous le temps et Kinnaert est assez sympas

MATH-H-201 - 21 Jun 2008

Bon si ça foire encore j'abandonne, et tant pis si je pollue rien à foutre ^^
2e question (2) : Calculer la transformée de Fourier de sin(t)sin(t/2)/2*pi*t²
Integrer la fonction en utilisant la définition, c'est trop chaud, alors se rappeler que x(t)=f(t)g(t) X(iw)=1/2pi (F(iw)*G(iw))
Vous avez une indication comme quoi sin(Wt)/pi*t vaut 1 pour |w| de -1 à +infini) Pourquoi? Systeme causal qui fait que la 2e borne de la région tend vers l'infini
Enfin réponse pour l'entrée = sin(t) --> y(t)=|H(i)|sin(t+phi) (formule FONDAMENTALE)

MATH-H-201 - 21 Jun 2008

Y a un bout de la question 2 qui est partie, je recommence
2e question (2) : Calculer la transformée de Fourier de sin(t)sin(t/2)/2*pi*t²
Integrer la fonction en utilisant la définition, c'est trop chaud, alors se rappeler que x(t)=f(t)g(t) X(iw)=1/2pi (F(iw)*G(iw))
Vous avez une indication comme quoi sin(Wt)/pi*t vaut 1 pour |w| de -1 à +infini) Pourquoi? Systeme causal qui fait que la 2e borne de la région tend vers l'infini
Enfin réponse pour l'entrée = sin(t) --> y(t)=|H(i)|sin(t+phi) (formule FONDAMENTALE)
Voila c'est tout concernant le prof, il est sympa et veut te mettre à l'aise... par contre, je sais pas pour les autres, mais il m'a coté comme un crevard.
Bonne CHANCE aux autres

MATH-H-201 - 21 Jun 2008

Salut
1ere question (8) : Démontrer que f(z) admet une série de Taylor (-> démo du cours)
Questions en plus : Calculer l'intergrale de 1/(z-16)^4 sur |z-2i| Th des résidus)
C'est quoi un résidu? (-> coeff de 1/(z-z0) dans la série de Laurent
C'est quoi une série de Laurent?
Région de convergence? (anneau dont le rayon est le plus grand tel que l'anneau soit analytique)
__________________________
2e question (2) : Calculer la transformée de Fourier de sin(t)sin(t/2)/2*pi*t²
Integrer la fonction en utilisant la définition, c'est trop chaud, alors se rappeler que x(t)=f(t)g(t) X(iw)=1/2pi (F(iw)*G(iw))
Vous avez une indication comme quoi sin(Wt)/pi*t vaut 1 pour |w| de -1 à +infini) Pourquoi? Systeme causal qui fait que la 2e borne de la région tend vers l'infini
Enfin réponse pour l'entrée = sin(t) --> y(t)=|H(i)|sin(t+phi) (formule FONDAMENTALE)
Voila c'est tout concernant le prof, il est sympa et veut te mettre à l'aise... par contre, je sais pas pour les autres, mais il m'a coté comme un crevard.
Bonne CHANCE aux autres

MATH-H-201 - 21 Jun 2008

Salut,
J'ai passé hier mon exam oral d'analyse complexe et voici les question que j'ai eu. J'ai tire le 2 dans les deux cas.
Première question:
Un grand classique:
Enoncer les equations de Cauchy-Riemann et demontrer qu'elles sont une condition necessaire pour que f' existe (tout cela bien exprime en z0 bien sur).
Deuxieme question:
Un peu plus chaud quand meme...
Calculer la transformee de Fourier de sin(t)sin(t/2)/(pi t^2) sachant que la transformee de Fourier de sin(Wt)/(pi t) est egale à 1 si |w| plus petit que W et egale à 0 si |w| plus grand que W.
Attention: les majuscules representent le omega particulier du signal de depart tandis que les minuscules, c'est la variable dans la transformee.
Pour la premiere question, pas de surprise, j'ai deballe tout ce que je savais sur la demo etudiee et il a ete content(il faut bien lui expliquer certains passage comme le passage du choix des delta z particulier). Il m'a bien sur poser quelques questions sur la notion d'analycité en me demandant si la fonction P(1/2,z) etait analytique, où et pourquoi. En partant de la definition de la fonction puissance (P(c,z)= e^(c Log(z))), il y avait moyen de s'en sortir (avec Cauchy-Riemann) mais il voulait juste une explication qualitative et donc il m'a demande de justifier avec les connaissances sur la fonction Log(z)(où elle est analytique et pourquoi, expliquer pourquoi il y a discontinuite lors du passage de l'axe reel negatif,...).
Pour la deuxieme question, c'etait un peu plus chaud car il fallait utiliser la propriete suivante: F(x(t) u(t))= 1/(2 pi)(F(x(t))*F(u(t))), formule que l'on utilisait jamais je pensais car cela me semblait idiot d'effectuer une convolution alors qu'il suffisait d'appliquer un bete produit des signaux de depart pour s'en sortir. Mais on voit bien qu'il n'est pas si simple de s'en sortir ici(à cause du fait que c'est des sin/t).
Et donc, ce qu'il y avait à faire, c'est appliquer la transformee de Fourier des 2 signaux et effectuer la convolution (un facteur pi doit etre ajoute pour pouvoir appliquer la formule donnee à chaque fois). Ensuite effectuer le produit de convolution de ces resultats... Ce qui demande une discussion assez longue sur les bornes de l'integrale que je vous laisse deviner où faire deviner par vous meme si cela vous enchante de refaire cet exo!!
Donc... Pas tres court comme exo, si bien que aussi peu probable que cela puisse paraitre au vu des dires des autres, je n'ai pas eu le temps de terminer la question avant qu'il n'arrive. Mais il s'en foutait completement, il voulait juste voir la demarche et il etait tres content meme sans resultat final.
Il m'a bien sur pose apres toutes les questions qu'il affectionne càd premiere condition de dirichlet, stabilite, que sort un systeme auquel on applique un sin(t) depuis un temps infiniment long (pourquoi sin(t) admet une transformee de Laplace alors que les "pseudo-conditions" de dirichlet ne sont pas verifiees et je pense que c'est a peu pres tout!
Ca fait un long post quand meme!! J'espere que c'etait plus ou moins clair mais le gros truc a retenir, c'est de bien comprendre la stabilite , les conditions de dirichlet, l'analycite et tous les concepts importants abordes au cours.
Voila, je vous laisse, je dois aller prendre un verre avec plein de glaçons, me mettre dans mon transat et bronzer un peu, je n'ai pas que cela à faire tout de meme: je suis en VACANCES!!!

MATH-H-201 - 21 Jun 2008

Question 1:
On a un contour C, sens positif, f analytique et non nulle sur C et D (intérieur de C)sauf en p0 où f a un pole de multiplicité beta dans D. On demande l'intégrale sur C de f'(z)/f(z) dz.
==> partir de la définition de pole pour développer en série et trouver le résidu, ensuite théorème des résidus, on trouve -beta*2*pi*i.
Ensuite il m'a posé des questions sur les formules de Cauchy, f analytique => f' analytique, les propriétés des séries (cercle de convergence,...)
Question 2:
Ces systèmes sont-ils linéaires, permanents, stables ?
1. y(t) = 5 t u(t) -> linéaire, non permanent et non stable
2. y(t) = sin (t) u(t) -> linéaire, non permanent mais stable
3. y(t) = intégrale de -infini à + infini de (u(to) exp 3(t-to) dt)
==> linéaire permanent mais pas stable
4. Système avec une transmittance isomorphe H(p) = 1/(p+11)(p+1) avec Re(p) > -1 ==> linéaire, permanent et stable
Ensuite il m'a donné une autre transformée et m'a posé des questions sur les valeurs asymptotiques et initiales de sa transformée inverse (théorèmes taubériens).
Voilà... La première question j'ai eu beaucoup trop de temps pour répondre (c'est long!) par contre la 2ème, comme je passais dernière il n'avait plus personne à interroger et m'a demandé de la terminer oralement et là il faut vraiment savoir où on va, parce qu'à la moindre hésitation il intervient et ne laisse plus du tt de temps pour réfléchir.
Bon courage à tous.

MATH-H-201 - 20 Jun 2008

Théorie:
Théorème de la valeur final... Avec quel condition peut-on en deduire que
lim x(t)= lim sigma X(sigma) sigma-->0+
Pratique:
Vérifier a l'aide du principe de l'argument les fonction et les chemins suivant
a) 1/x³
b) 2(x+1)

MATH-H-201 - 20 Jun 2008

Première question :
Donner le domaine d'analycité de Log(z) puis, dérivé-le.
Log(z)=log|z| + i Arg(z)
==> foirage en 0 à cause du log et discontinuité sur l'axe réel négatif à cause de : -pi v = arctg(y/x)
Ensuite pour éviter de dériver l'arctg, on emploit le fait que la fonction est analytique ==> dv/dx = -du/dy
Au final : d(Log(z))/dz = d(log(sqrt(x²+y²)))/dx - i d(log(sqrt(x²+y²)))/dy
=(x-iy) / (x²+y²) = 1/(x+iy) = 1/Z
Question supplémentaire :
soit f(z)= (2z-3) / [(4z-8)² * (z-1)]
Définir ce qu'est un résidu
==> le terme b1 dans la série de Laurent, autrement dit le facteur de 1/(z-z0)
Sur ce : donner la forme général d'un développement de Laurent
==> dans le cours ^^ pas envie de réécrire ça.
Donner le résidu en z=2
==> on dit que f(z) = phi(dérivé n fois)(en z0) / (n-1)!
ici phi= (2z-3) / [16*(z-1)] et n=2 car (z-2) est exposant 2
J'vous laisse le calcul...
Dernière sous question : donner la zone de convergence et donc le rayon de convergence.
==> dessinez le plan complexe, un point en (1,0) et un autre en (2,0), ce sont vos deux pôles, vous tracez un cercle centré en (2,0) de rayon tendant vers 1 (c'est-à-dire, un cercle ne passant pas par l'autre pôle mais presque) et un autre cercle toujours centré en (2,0) mais qui lui tends vers un rayon nul. La zone de convergence est située entre ces deux cercles.
Il demande sont "équation" : 0 sortie bornée
ou en parlant des la zone de convergence (ZDC) qui doit contenir l'axe imaginaire.
c) Qu'elle est la réponse du SLP si l'entrée est : u(t)=3cos(2t) (DEPUIS t= -INFINI !!!) et H1(p) = exp(-3t) / (p-1) et H2(p)= 1/ (p-4)
Alors là il faut préciser que l'histoire du (w/w²+p² ou p/... je sais plus trop bien) ça marche pas, car la fonction démarre de -inf
==> ne pas partir dans le méga trip du : un cos c'est la somme de deux exponentielles imaginaires....
la réponse (et le prof m'a rappelé a la fin de l'examen à quel point cette formule est importante et fondamentale) est qu'il faut employer ceci :
y(t) = A(amplitude : 3 ici) . |X(iw)|(ici X c'est H je crois, et le w c'est 2) . cos(2t + phi(2)) (phi est l'argument de H en fait, ce que je ne savais plus...)
d) Puis une dernière sous question dont je ne me rappelle plus car il est arrivé avant que je l'entame et je ne sais même pas si j'ai du y répondre au final.
Voilà voilà j'ai fais le plus complet possible 😉
Bonne merde à tous, et tout ce qu'on dit est vrai, il est sympa et on attend trèèès longtemps avant de partir.

MATH-H-201 - 27 Apr 2011

Question 1:
-----------
Soit C un chemin élémentaire et f(z), une fonction continue.
Définir intégrale de f(z) sur C.
Appliquer à la fonction f(z)= (x + y^2) + i.x.y^3 le long du chemin allant de 0 à (i-1).
Question 2:
-----------
Soient x1(t) et x2(t) deux fonctions de Transformées de Fourier X1(iw) et X2(iw) et vérifiant Dirichlet.
Soit x(t)=x1(t).x2(t) tq x(t) vérifie Dirichlet.
Donner l'expression de la Transformée de Fourier de x(t). Démontrer.

MATH-H-201 - 19 Jun 2008

1e question: (jeton 1)
------------
demontrer que f(z) admet comme limite w0 si et seulement si u admet u0 et v admet v0 => demo des limites.
puis quelques questions subsidiaires sur analycité, continu + application de cauchy.
2e question: (jeton 8)
------------
Un systeme avec H1 et H2 en parallele, trouver que ca doit etre la somme, puis reponse indicielle, puis pente a l'origine (taubérien) + signal a l'entrée sinusoidal. => expliquer avec sortie y=|H|sin(wt+phi)
Bonne m* pour ceux qui doivent encore le passer et accessoirement aux générations futures ...
Le prof est super cool, il donne des points meme si on se plante si on arrive a se corriger apres ses remarques.

MATH-H-201 - 19 Jun 2008

Voici les 2 questions principales posées :
1. Donner le signal de sortie pour un système de transmittance isochrone donnée (H(iw)) et pour le signal d\\'entrée A cos(w0t + theta0).
-Sous-question : il donne une transmittance isomorphe (fct de transfert) et demande si le système qu\\'elle décrit est stable ou non ; cette fct peut-elle être utilisée dans le raisonnement de la question principale ?
(la réponse était *non* car le système était instable donc ne comprenait pas l\\'axe imaginaire donc la transmittance isochrone H(iw) de ce système n\\'existait pas).
2. Calculer le résidu de f(z) = -1 / (z-1)(z-2) en z=2 en utilisant un dvlpt en série de Laurent de f(z) adéquat (càd autour de z=2, évidemment).
-Sous-question : peut-on calculer l\\'intégrale sur un contour fermé donné de [dz / z] en utilisant une primitive (sous-entendu Log z) ?
La réponse était *non* car il y avait une discontinuité de Log z au point d\\'intersection du contour fermé et de l\\'axe réel négatif. CCL : calculer l\\'intégrale avec la 1ère formule de Cauchy (ou les résidus, si vous êtes fans, mais c\\'est un peu la grosse artillerie pour pas grand chose... de mon point de vue en tout cas)
3. Ah ben il n\\'y en a pas 😉
J\\'utilise ce point pour dire 2 mots sur le prof, alors : sympa, rigoureux mais pas pointilleux. Connaissez vos raisonnements et tout ira bien. Moins il parle et plus vous parlez, mieux ça vaut. Quand il interrompt, c\\'est souvent qu\\'il y a un problème dans ce que vous dites.
Bonne chance aux BA2 de la cuvée 2011 (enfin... si tout se passe bien 😉 et aux \\"générations futures\\" !

MATH-H-201 - 19 Jun 2008

Mais oki ca bug à fond 😮
Je réessaye.
1) f(z) analytique sur le disque ouvert |z-z0|<R
Démontrer que f(z)=An(z-z0)^n
où An=fn(z)/n!
2) X(p) = e^-3p / (p+1)(p+2)
x(t) est-elle univoquement définie par X(p)?
Déterminer l'(les) expression(s) de x(t)

MATH-H-201 - 19 Jun 2008

1) f(z) analytique sur |z-z0|

MATH-H-201 - 18 Jun 2008

Désolé, petite erreur de manip. Je réenvoie.
question 8 :
Démontrer pour une fonction analytique sur un disque ouvert |z-z0|<R que f(z)=somme(a(n)*(z-z0)^n) avec a(n)=dérivée nième de f divisée par n! (En gros démontrer le développement en série de Taylor)
Question subsidiaire : effectuer le développement en série de Taylor de (z+2)/[(z-3)(z+4)] et indiquer le domaine de convergence
question 1 (aussi 25):
On nous donne le graphe de X(iw) la transformée de Fourier de x(t), et on demande d'esquisser le graphe de la transformée du produit [cos(t/2)+2cos(5t)]*x(t) (C'est un produit simple, pas une convolution)
question subsidiaire :
On donne un système causal de réponse H(p)=(p+2)/[(p+3)(p+4)] et une entrée u(t)=sin(t). Déterminer la sortie y(t).

MATH-H-201 - 18 Jun 2008

question 8 :
Démontrer pour une fonction analytique sur un disque ouvert |z-z0|

MATH-H-201 - 27 Apr 2011

j'ai mal écrit la fonction de ma deuxième question --->-1/(z-1)(z-2)
désolé 😉

MATH-H-201 - 18 Jun 2008

j'ai pioché la question 1 et la 20
pour la 1 j'ai eu : réponse à un signal u(t) en ayant la réponse impulsionnelle h(t) puis démonter Y(p)=H(p)*U(p) ( multiplication et non convolution ;-))...puis il a dévié vers RDC &Co ...question facile donc il va balayer tout le cours .
pour la deuxième question j'ai eu écrire la serie de laurent de -1/(-1)(z-2) dans les régions abs(z)>2 et 1

MATH-H-201 - 18 Jun 2008

et la deuxieme question se portais sur le developpement de laurent de
-1/(z-1)(z-2) autour de 2

MATH-H-201 - 18 Jun 2008

Feuille 16 numérotation bleu
vous avez L(s(t)=> S(p) qui converge entre sigma S+ et sigma S-
et L(q(t)=> Q(p)qui converge entre sigma Q+ et sigma Q-
que déduisiez vous de la région de convergence de de la convolution s(t)*q(t)
ici il faut lui montrer que la convergence n'est possible qu'a l'intersection des région ,vous lui faite un dessin et il sera content ,
il vous demandera pourquoi ces valeur là , parce que pour respecter Dirichlet 1 il faut que votre intégral converge ou valeur fini (

MATH-H-201 - 18 Jun 2008

vrmt déso de polluer mais j'ai compris que c'était les "

MATH-H-201 - 27 Apr 2011

voilà dernier post, puisque lentièreté de la question ne passe tj pas...
voici la fin du post:
ensuite après m'avoir expliqué la paramétrisation(en me donnant donc la solution) il m'a demandé l' intégrale de circulation de dz/(z²+4)sur C tel que |z-2i|

MATH-H-201 - 18 Jun 2008

bon apparemment n'entièreté de mon post n'est pas passé...alors le voici..
voilà j'ai passé l'oral ce matin..
Question 1:
-----------
démontrer que pour un système de H(iw) connu et d'entrée u(t)=Acos(w0t) on a la forme y(t)=|H(iw)|Acos(w0t+phi(w0)). En fait il ne donne pas l'expression y(t) que j'ai citée donc il faut savoir que c'est le résultat auquel on doit aboutir. On résoud cette question de la même manière que la démonstration qu'il ya dans le cours pour u(t)=Asin(w0t),(car cos et sin sont des frères jumeaux, dixit le prof;-))(avec y(t)=Asin(w0t+phi(w0)))sauf que il faut considerer dans la démo l'esponentielle (1/2)*(e(iw0t)+e(-iwot))(définition du cos(w0t)) et non pas (1/2i)*(e(iw0t)-(e(-iw0t))(définition du sin(w0t)..pour la suite de la démo on applique les mêmes propriétés que celles faites dans le cas du sinus..càd considérer aussi H(-iw0) comme étant le conjugué de H(iw0) et préciser que ces propriétés de symétries faites car la fonction est réelle..
Question 2:
-----------
définir l'intégrale de f(z) sur C où C est un segment de droite, qui va de z=0 à z=i-1, donc il faut paramériser le chemin C suivant un paramètre t,enfin c'est un peu piège car il n'y a pas eu ça dans les exercices de tp's..
ensuite après m'avoir expliqué la paramétrisation(en me donnant donc la solution) il m'a demandé l' intégrale de circulation de dz/(z²+4)sur C tel que |z-2i|

MATH-H-201 - 18 Jun 2008

voilà j'ai passé l'oral ce matin..
Question 1:
-----------
démontrer que pour un système de H(iw) connu et d'entrée u(t)=Acos(w0t) on a la forme y(t)=|H(iw)|Acos(w0t+phi(w0)). En fait il ne donne pas l'expression y(t) que j'ai citée donc il faut savoir que c'est le résultat auquel on doit aboutir. On résoud cette question de la même manière que la démonstration qu'il ya dans le cours pour u(t)=Asin(w0t),(car cos et sin sont des frères jumeaux, dixit le prof;-))(avec y(t)=Asin(w0t+phi(w0)))sauf que il faut considerer dans la démo l'esponentielle (1/2)*(e(iw0t)+e(-iwot))(définition du cos(w0t)) et non pas (1/2i)*(e(iw0t)-(e(-iw0t))(définition du sin(w0t)..pour la suite de la démo on applique les mêmes propriétés que celles faites dans le cas du sinus..càd considérer aussi H(-iw0) comme étant le conjugué de H(iw0) et préciser que ces propriétés de symétries faites car la fonction est réelle..
Question 2:
-----------
définir l'intégrale de f(z) sur C où C est un segment de droite, qui va de z=0 à z=i-1, donc il faut paramériser le chemin C suivant un paramètre t,enfin c'est un peu piège car il n'y a pas eu ça dans les exercices de tp's..
ensuite après m'avoir expliqué la paramétrisation(en me donnant donc la solution) il m'a demandé l' intégrale de circulation de dz/(z²+4)sur C tel que |z-2i|

MATH-H-201 - 18 Jun 2008

Mes questions d'oral pour ce matin:
1) question 20 (numérotation rouge)
On demande d'exprimer y(t) en fct de h(t) et u(t) (convolution)
puis Y(p) en fct de U(p) et H(p). La démo est assez courte et est dans le cours.
Si la question initiale est relativement simple (et le temps pour y répondre ENORME!) les questions annexes qu'il pose ensuite le sont nettement moins. Son grand dada: régions de convergence!!! Soyez incollables là dessus car, quel que soit votre question, vous en aurez!
Il a ensuite demandé à peu près tout sur la stabilité avant de demander d'exprimer y(t) grâce à H(p) et U(i.Omega)+ les conditions pour pouvoir résoudre le schmilblik.
2) question 1 (toujours numérotation rouge)
Résoudre la série de Laurent f(z) = 1/((z-1)(z-2)).
En question annexe, il a vite dérivé sur les primitives, en demandant de résoudre int(dz/z) sur le cercle défini par |z-2i|=10.
Def de Log, de Arg etc... pour finalement arriver à la conclusion qu'on ne sait pas résoudre cette intégrale via les primitives, et il demande alors la valeur de l'intégrale et comme on y arrive (méhode des residus et tout ce qu'on sait sur les résidus etc)
En conclusion:
les question annexes sont souvent assez longues, bien plus longues que la question initiale. Les 2 parties du cours à DEVOIR maîtriser sont
-les RDC + stabilité
-les primitives
Ces 2 points ressortent 9 fois sur 10 lors des questions annexes.
Bonne m* à tous!

MATH-H-201 - 17 Jun 2008

Je viens d'avoir eu l'oral.
Comme pour tout le monde, j'ai pioché mon petit jeton et c'est parti pour la démo.
Première question: Théorème des résidus, qu'est-ce qu'un résidu, application à la transformée de laplace inverse.
Le théorème en lui même est tout con (la démo prend deux lignes). Il faut savoir expliqué comment intervient le théorème de Cauchy-Goursat pour ça il suffit d'expliquer le petit dessin et de dire que ce théorème nous permet de considérer que les intégrales sur un chemin n'entourant pas un résidu est nulle.
Pour l'application dans la transformée de Laplace, il ne m'a rien demandé (je ne sais même pas s'il l'a regardée).
Il m'a ensuite demander si on pouvait calculer l'intégrale de dz/z pour |z-1|=3 grâce à Log z. La réponse est non puisque Log z est discontinue sur l'axe réel négatif (à démontrer).
Question 2:
J'ai eu un système avec deux transmittances isomorphes en parrallèle.
Il m'a demandé l'impulsion du système (on additionne les transformées inverses de laplace des deux transmittances grâce à la linéarité).
J'ai ensuite du calculer la pente à l'origine de la réponse indicielle du système (grâce au théorème de la valeur initiale).
Pour finir, j'ai du calculer la réponse du système avec une entrée sinusoidale.
A part ça, il est sympas.
Mais prenez tout votre temps pour répondre, sinon vous allé trouvé le temps lond... très long.
Bonne merde

MATH-H-201 - 17 Jun 2008

Mon tirage : 14 puis 6
question 1 :
x(t) = x1(t)*x2(t), que vaut la transformée de Fourier ?
Réponse: petite démo en 3 minutes puis au moins 30 minutes (après j'ai plus compter) à attendre le prof.
Sous-question : à quoi ça sert, conditions (dirichlet 1, les autres il s'en fou), stabilité d'un système, ...
Question 2 :
série de Laurent de f(z) = 1 / ( z² (z-3)²) avec deux indications : 1) faire un chgt de variable q = z-3 peut être utile et 2) 1/(1-z)² est la dérivée de 1/(1-z)
Les indications ne servent à rien (en tout cas j'ai pas utiliser et ca ne le dérangeait pas). Encore une demi-heure d'attente.
Sous-question : résidus, multiplicité (c'était ds la question mais il n'en a pas parler), région de convergence (la il insiste) + qu'est-ce que ça implique pour f(z), ... il est arrivé aux équations de Cauchy-Riemann je sais pas comment, puis il a dit c'est bon.
Autres remarques :
vu l'état de ses petites fiches, il n'a pas changer de questions depuis qques années donc je vous conseille de refaire ttes les questions postées depuis ... le début. Il y en a une vingtaine pour chaque partie.
vs avez le temps de répondre donc écrivez ttes les lignes des démos.
choisissez le grand tableau dans la salle principale pour pouvoir lire les affiches en attendant le prof.
Bonne chance pour tous les suivants.

MATH-H-201 - 16 Jun 2008

Question 1
Un système linéaire et permanent a pour transmittance isochrone H(iw) si l'entrée du système vaux u(t) = A sin(w0t), donner la réponse du système et démontrer le résultat ?
Question 2
Calculer l'integrale sur le contour fermé C de f(z) pour
f(z) = 1/(z²+4)(z²+1)
C étant défini
a) | z | = 1/2
b) | z | = 3/2
La première question ca s'est très mal passé et la deuxième très bien (Cauchy Goursat pour le a et théoréme des résidus puis qques questions sur qu'est ce qu'un résidu et donc série de laurent).
Malgré la premiere question il m'a dit que j'aurai 12 ou 13/20 !
Cool!
Bonne merde A tous, vous verrez c'est faisable...

MATH-H-201 - 16 Jun 2008

Bonjour à tous,
voilà les qustions sur lesquelles je suis tombée ce matin
1ere question: théorie des signaux
demonstration de la trnasformée de Fourier d'un produit de convolution, en prenant soin de bien définir les conditions de dirichlet
puis il m'a donné une application: calcul d'une convolution à résoudre graphiquement (il voulait pas d'intégrale) avec x1(t)= heaviside(t) et
x2(t)=exp(-at).heaviside(t)
puis il m'a donné la fonction de transfert d'un système causal: H(p)=(p-11)/(p+1)(p+2)+ RDC + réponse à une entrée sinusoidale u(t)=2sin(t)
2ème question
série de laurent en 3 de 1/z²(z-3)² + région de convergence + résidu en z=3 en utilisant la série de laurent évidemment + multiplicité de 3 (à pouvoir trouver grace à la série de laurent également) ...
Il donne comme indications: poser q=z-3 et dérivée de 1/(1-z)= 1/(1-z)²
personnellement, j'ai pas du tout utilisé ces conseils mais ça ne l'a pas du tout dérangé
puis il m'a posé des petites questions: fonction analytique?, dérivabilité ==> cauchy riemann
ben voila c'est tout...
bon courage à tous pour la fin

MATH-H-201 - 29 Jun 2007

Question 1:
Démontrer la formule de la transformée de Fourier d'un produit de fonctions.
Question 2:
Trouver le résidu de -1/((z-1)(z-2)) avec z autour de 2 à l'aide d'une série de Laurent appropriée.

MATH-H-201 - 28 Jun 2007

Question 1:
Enoncer Cauchy-Riemann et démontrer.
+ 1 petite condition pour avoir une CNS pour que f'(z0) existe
(il faut en plus que les dérivées partielles soient continues)
bref easy game
Question 2:
Deux systèmes mis en parallèle. Décrits par H1(p) et H2(p).
Donner la réponse impulsionnelle de la mise en parallèle des 2 systèmes:
h(t) = h1(t) + h2(t)
Donner la pente à l'origine de la réponse indicielle.
Trouver S(p)=H(p).1/p
Théorème de la valeur initiale en dérivant de chaque côté (pour avoir la pente à l'origine et non la valeur à l'origine)
Donner la réponse à une sinusoïde: sin(2t+5)
Formule générale avec |H(iw)| et phiH(iw)
Je ne connaissais pas grand chose pour la deuxième question mais apparemment il était content (il est trèèès vite content!) et sympa
KJB

MATH-H-201 - 27 Jun 2007

Comme Anne-Sophie, j'ai pêché deux fois le même numéro mais moi c'était le 6
Question de théorie : démontrez la première formule de Cauchy, et donnez les conditions sur f(z),c et z0. Facile, il suffit de retaper la démo du cours. Ensuite il te donne une intégrale à calculer mais on savait pas le faire avec Cauchy justement puisqu'il y avait deux pôles dans le domaine précisé => théorème des résidus, il m'a juste demandé ce que c'est un résidu et d'en calculer un des deux de l'intégrale qu'il avait écrit.
Question pratique : donnez la réponse impulsionnelle, sachant que H(p)= e(-pTau)/(p+a)(p+b) (systeme causal) et donnez les conditions sur a,b,tau pour pouvoir appliquer le theoreme de la valeur finale. Calculer la valeur finale de la réponse indicielle du systeme. Puis j'ai eu qq petites questions sur la stabilité, ou donnez la réponse pour une entrée sin(t)
Voilà, bonne chance aux derniers,
Marie

MATH-H-201 - 26 Jun 2007

Hum, je vous assure que je veux pas polluer, c'est ma phrase qui ne veut pas passer... Je la remets une deuxième fois, si c'est toujours la même je vais finir par laisser tomber et désolée pour le bout qui manque ^^'
"pourquoi j'ai enlevé la valeur absolue autour de (d-|deltaz|) (parce qu'on suppose |deltaz| inférieur à d donc le résultat sera d'office positif).
Ensuite, calculer l'intégrale de 1/(z-1)² sur le contour |z-2|=3. On applique la formule de Cauchy pour n = 1 ce qui donne 2pi i f'(1) = 0 (dérivée d'une constante). Il m'a demandé ensuite comment le calculer autrement, j'ai dit par les résidus d'où c'est quoi un résidu ?"
En espérant que ce soit mon dernier post dans cette section ^^'

MATH-H-201 - 26 Jun 2007

Il manque un petit bout au post précédent, et comme j'ai pas trouvé comment on édite, hé bah, c'est encore moi qui poste qqch :p
Pour la démo de la question 1, il manque la fin (et le début de la suite) :
"pourquoi j'ai enlevé la valeur absolue autour de (d-|deltaz|) (parce qu'on suppose |deltaz| c'est quoi un résidu ?"
On comprend mieux comme ça XD

MATH-H-201 - 26 Jun 2007

Les voici les voilà, mes deux ptites questions ! Chance ou pas, j'ai pioché deux fois le jeton 7. Pour la seconde question, ça m'arrangeait, la première j'aurais préféré autre chose ^^'
First Question :
Démontrer que f' est analytique en z0 sachant que f est analytique en z0.
C'est la démonstration de la formule de Cauchy pour n = 2. Le principe (enfin, c'est ce que j'ai fait) est de démontrer que f''(z0) donne l'intégrale de machin, donc la dérivée de f' existe, donc f' est analytique.
Le début, c'est comme dans le cours (et le même principe que pour f'(z0) = intégrale...). Le seul problème que j'avais, c'était pour démontrer que le résultat obtenu est nul... Dans le cours, il ne l'indique pas, donc j'ai fait comme pour la démo précédente : |z-z0| >= d et |z-z0-delta z| >= d - |delta z|. Pour le dénominateur, ça donne donc quelque chose de similaire à la démo pour f'(z0), pour le numérateur je sais pas trop ce que ça donne, mais il ne s'y est pas du tout intéressé, donc... c'est passé sans trop de problème. Il m'a juste demandé un petit dessin pour |z-z0| >= d (j'ai fait un bête cercle autour de z0 en mettant un rayon d).
A côté de ça, il m'a posé des petites questions : qu'est-ce qu'une fonction analytique, comment je détermine mon chemin (chemin admissible fermé simple et la fonction analytique dans C U D (avec D le domaine intérieur de C). Il fallait aussi dire que z0 était dans le domaine considéré (mais ça c'était assez logique...)), pourquoi j'ai enlevé la valeur absolue autour de (d-|deltaz|) (parce qu'on suppose |deltaz| c'est quoi un résidu ? (coefficient de 1/z-z0 dans le développement en série de Laurent de f) -> quel est le domaine de convergence pour une série de Laurent ? (un anneau). Dans ce cas-ci, que vaut le résidu ? (0 déjà parce que ça doit donner le même résultat, ensuite parce que 1/(z-1)² est son propre développement en série de Laurent, donc on a pas de terme en 1/(z-1) -> le résidu est bien nul).
Ah et il m'a aussi fait un petit dessin pour la série de Laurent : deux pôles z0 et z1 dont il fallait dessiner l'anneau dans lequel la fonction serait analytique. J'ai fait un premier cercle autour de z0 (très proche) et un second autour de z0 mais passant par z1. Ca fait un joli anneau. Il demande juste quel est le rayon de convergence pour le premier cercle (le petit), il tend vers zéro.
Après toute cette série de petites questions, j'ai pu piocher mon second jeton number 7.
Deuxième question :
Ces systèmes sont-ils linéaires, permanents, stables ?
1) y(t) = 5 t u(t) -> linéaire, non permanent (à cause du t) et non stable (à cause du t : lorsque t -> infini, y(t) aussi même si l'entrée u(t) est bornée).
2) y(t) = sin (t) u(t) -> linéaire, non permanent (à cause du sin(t)) mais stable (sin(t) borné -> si on a une entrée bornée, la sortie sera bornée)
3) y(t) = intégrale de -infini à + infini de (u(to) exp 3(t-to) dt). On remarque que c'est le produit de convolution : u(t) * exp(3t). Qui dit produit de convolution, dit système linéaire et permanent. Par contre, il n'est pas stable (il tend vers l'infini lorsque t tend vers l'infini)
Il m'a demandé ce que c'était un système permanent. J'ai dit que si y(t) est la sortie correspondant à u(t), alors y(t-t0) est la sortie correspondant à u(t-t0). Et physiquement ? Il a commencé à expliquer "si par exemple je fais une expérience aujourd'hui" et j'ai direct répondu qu'on obtiendrait le même résultat le lendemain (décalé d'un jour dans le temps). Pour le 1) il m'a demandé de donner un exemple d'entrée bornée qui donnerait une sortie non bornée. Toute fonction est bonne mais il en voulait absolument une, j'ai dit sin(t) mais même une constante c'était bon en fait.
4) Système avec une transmittance isomorphe H(p) = 1/(p+11)(p+1) avec Re(p) > -1
On a une transmittance isomorphe -> le système est linéaire et permanent. De plus, les deux pôles sont -1 et -11, donc négatifs (et réels), donc le système est stable (avec la région de convergence donnée, on a un système causal).
Après, c'est un peu parti dans tous les sens, j'ai pas trop compris toutes les questions, d'ailleurs il n'a pas lu tout ce que j'avais écrit et m'a donc posé des questions pour m'amener à dire que l'axe imaginaire devait être dans la région de convergence (alors que je l'avais écrit ^^'). Il m'a demandé pourquoi j'avais ce résultat là (parce que la RDC était telle que le système était causal -> les pôles doivent être négatifs étant donné qu'on a Re(p) = 0 dans la région de convergence), ce que deviendrait la condition pour obtenir un système stable si j'avais un système acausal (les pôles devraient être positifs, puisqu'on aurait une région de convergence qui est un demi-plan gauche, et les pôles ne peuvent pas être dans la région de convergence). J'avais noté la condition de stabilité (intégrale de |h(t)| bornée) ce qui l'a amené à me demander à quoi ça correspondait également (c'est la première condition de Dirichlet pour la transformée de Fourier, donc on a H(iw) qui existe (si le système est stable donc)).
Il est ensuite passé à un exemple. Il m'a donné u(t) = sin(2t) et calculer directement le résultat. On applique bêtement la formule du cours : y(t) = |H(iw)| sint (2t + phi(w)). Pour calculer le module, aucun soucis, pour la phase il ne veut pas qu'on commence à distribuer le dénominateur, il faut utiliser le fait que argument d'un produit = somme des arguments. Dans ce cas-ci, on a phi(w) = - arctg (w/11) - arctg (w/1). Il demande ensuite de calculer y(t), en fait c'est juste pour voir si vous avez compris quel w prendre (ici w = 2).
Pour finir, il a longtemps hésité à me poser une question supplémentaire mais a décidé que c'était bon ^^
Sinon, que dire à part que c'est terriblement long... On passe son temps à attendre. Quatre personnes entrent au début et une nouvelle entre à chaque départ. Il y a trois salles différentes, une principale où deux personnes restent, une deuxième je sais pas où, et la dernière à l'étage (si vous n'aimez pas le sol qui craque à chaque pas sauf quand deux personnes se trouvent dans la pièce, essayez de l'éviter... C'est assez embêtant quand il n'y a pas un bruit autour de vous et qu'au moindre pas on entends "craaaaaack" dans tout l'étage...). Il ne donne pas les points directement non plus, il vous dit juste si ça a été ou pas et demande si vous avez réussi l'écrit.
Désolée pour le post super méga long, jme suis dit qu'il valait mieux dire trop que pas assez ^^'
Bon courage à tous ceux qui doivent encore passer cet oral ! On en ressort vivant, si si !

MATH-H-201 - 26 Jun 2007

Alors voilà je suis passé aujourd'hui, deux questions :
Question 4 :
Déterminer le domaine dans lequel Log z est analytique, et déterminer sa dérivée; j'ai mis tout ce que je savais, sans grande conviction et il m'a posé qqs questions, en m'aiguillant très gentiment lol. Après il m'a demandé de calculer l'intégrale de 1/(z-5)^3 sur |z-2|=8. J'ai utilisé la deuxième formule de Cauchy pour lui dire qu'elle était nulle, il m'a regardé du genre : "tu es sur?" avant de dire "ok".
Question 1: (aussi mis question 25)
On a un graphe de X(iw) (en triangle autour de l'origine), une fonction y(t)=(cos(t/2)+2*cos(5t))*x(t); on doit faire un graphe de la transformée de Fourier de Y(iw). Je savais pas trop comment faire le graphe, alors j'ai utilisé les propriétés pour obtenir la transformée de Fourier des cosinus, après le prof est venu il m'a posé des questions sur la stabilité, la réponse impulsionnelle...
Concernant l'examen, on a le temps d'apprendre sa question par coeur car c'est la seule occupation qu'on a après avoir écrit les 5 lignes de réponse...c'est très long comme déjà dit. Sinon le prof est juste dans sa cotation je pense, et très sympathique.
PS pour mon binome: j'ai fini euh nanananana.... (...)

MATH-H-201 - 25 Jun 2007

Première question
Calculer la transformée de Laplace de s(t)*q(t) (convolution) et dire ce que vous savez sur sa région de convergence,
A partir de ça il pose plein de questions sur la stabilité.
Quelle propriété doit avoir la région de convergence de H(p) pour que le système soit stable et pourquoi ?
Qu'est-ce qu'un système causal et que peut on dire de son domaine de convergence ?
Deuxième question
Calculer l'intégrale de f(z)=1/[(z^2+4)(z^2+1)] sur les contours
1) |z| = 1/2
2) |z| = 3/2
Utiliser Cauchy-Goursat pour (a) et les résidus pour (b).
A partir de là, il demande c'est quoi une fonction analytique. Il dévie sur les résidus et les séries de Laurent
Il est assez sympa, il vous arrête net si vous dites une grosse bêtise donc tant qu'il vous laisse parler c'est bon signe.

MATH-H-201 - 24 Jun 2007

Pour la première question j'ai dû énoncer les équations de Cauchy-Riemann et montrer que c'est une condition nécessaire pour qu'une fonction soit dérivable (cela se fait avec la démo qui donne les équations).
Ensuite j'ai dû calculer l'intégrale de phi(z)/(z-z1)²(z-z2), j'ai fait ça par la méthode des résidus.
Il m'a demandé aussi des définitions du genre continuité, analytique, etc.
Pour la seconde question je devais donner la réponse impulsionnelle d'un système causal, calculer la valeur initiale de sa pente (par le théorème de la valeur initiale), calculer la réponse indicielle et la réponse à u(t)=3sin(2t+5).
Ensuite donner quelques déf comme système stable, causal,...
Je l'ai trouvé aussi assez cool mais par contre c'est beaucoup trop long, +-2h comme d'autres l'ont déjà dit.

MATH-H-201 - 23 Jun 2007

Salamaleikoum
hier jai passé l'oral et j'ai eu:
-demontrer que si F(z)=int f(s) ds alors f(z) admet une primittive
la demo est dans le cours et il pose des petites questions pour voir si
ta pas betement retenu par coeur...
-Une fonction en créneau dont je devais donner la transformée de Laplace
avec les RDC (ces fameuses rdc...)
Ps: il etait sympa et quand j'avais un trou de memoire il me mettait sur la voie. No stress lisez bien son cours faites les TP et ca ira si Dieu Le veut.

MATH-H-201 - 23 Jun 2007

Alors mes questions étaient:
question 1 : theorie :
fiche 20 : definir la sortie y(t) dun SLP de réponse impulsionnelle h(t) à une entrée u(t). Demontrer Y(p) en fonction de U(p) et H(p).
Rien de bien compliqué, il faut maitriser RDC et stabilité il parle que de ca presque dans les questions subsidiaires (==> condition pr avoir H(iw)..)
+ question subsidiaire vicieuse : dirichlet est il vérifié pour sin(t) ==> non, pourquoi a-t-on tout de meme une trans. de Fourier? il faut dire en gros qu'on fait un dvpt en serie Fourier et kon a un coeff 2pi ki vien s'ajouter au dvpt de sin en exponentielle ==> 2pi (e(iwt)-e(-iwt)/2i) ==> (-pi/i)d(w-wo) ...
question 2 : exo :
fiche 1 : dvpt en serie de laurent de -1/(z-1)(z-2) dans les regions
1°) |z|>2
2°) 1 bien faire attention a ne pas faire le produit des dvpt mais bien transformer en (1/z-1) - (1/z-2) et faire la difference des dvpt
+ faire attention quand il parle de residu il faut bien prendre le coefficient de 1/z-zO du dvpt pr 0

MATH-H-201 - 23 Jun 2007

Bon moi j'ai eu la meme question que phi hai à savoir:
Première question:
Log z1z2 = Log z1 + Log z2
Log (exp z) = z
------
Deuxième question :
Vérifier le principe de l'argument pour les 2 fonctions:
1/ 1/z³ pour le contour |z|=1
2/ 2(z+1) pour le contour |z-3|=1
donc voila, l'exam dure longtemps, pour moi +- 2.00 mais c'est pask'il nous donne la question et se barre pendant 40 min chez les autres, mais sinon on passe seulement qq min avec lui donc le reste du temps on peut réfléchir, ou faire 47 fois le tour de la piece/table.
sinon lui il quand ca va pas il essaye vmt de tirer le maximum pour nous faire arriver ou il veut donc c'es plutot bien.
a part ca il la estimé que j'avais eu trop de question sur l'analyse complexe et pas théorie des systeme alors il la commencé à m'improviser quelques questions, il adore les régions de convergence , la stabilité/linéarité/permanence et moi il m'a demandé encore une p'tite question :
si on a une entrée u(t)= A cos(w0 *t) quelle est la réponse y(t) Cf formule du cours pour un SLP: y(t) : A |H iw0| cos (w0 t + Arg |Hiw|)
et la il m'a demandé si la formule la était tjr valable, il fallait répondre que ca doit etre un SLP en régime et stable après il m'a expliqué qq trucs et la fo faire semblant de capter ckil dit.
a part ca faites gaffe paske parfois il pose des questions genre "t'es sur que c'est vrai cke tu viens de dire", alors que c bon......
donc il est coule mais c pas notre big pot nn +.
a+ et bonne chance

MATH-H-201 - 22 Jun 2007

" VACANCES VACANCES VACANCES VACANCES " dixit le célèbre poète Nogues
[...]
Fiche 3:
Meme question que pour Ludo, pas compliqué y a moyen de la déglinguée comme il dirait...
Donc démontrer que
Log z1z2 = Log z1 + Log z2
Log (exp z) = z
Comme il l'a dit, ne pas oublier les conditions sur les arguments ( Arg z1z2 = Arg z1 + Arg z2 ssi -pi Résidus, première formule d'Euler, paramétrisation et faites un lien avec Log z en disant que Log z est la primitive de 1/z sur tout le contour sauf là ou Log z n'est pas analytique et juste lui dire qu'il y a moyen de calculer l'intégrale par ce biais en utilisant une limite... il ne veut pas en savoir plus de toute facon.
Fiche 9: 2 SLP en série dont on donne H1(p)=e^pt /(p+1) et H2(p)=1/(p+4)
a) Réponse impulsionnelle? h(t)=h1(t)*h2(t)
b) Condition de stabilité? Il adore cette sous question... faut balancer tout ce que vous savez...
-que Re(p)=0 doit appartenir aux RDC de H1 et H2
-que donc les parties réelles des poles doivent toutes être négatives
-que si H(p) est une fraction rationnelle, on peut la mettre sous forme d'une somme de fractions simples
-à partir de là, on peut retrouver h(t) par les propriétés des transformées de Laplace ( h(t) = Somme alpha . e^poles.t . nu(t) )
- lui dire que comme les parties réelles des poles sont négatifs, h(t) est bornée
- on retrouve que la réponse impulsionnelle est bornée => stabilité
c) Calculer la réponse y(t) au signal d'entrée u(t)=3.cos(2t)
Utiliser le fait que y(t) prend la forme de A|H(iw)|cos(wt+p) lorsque le signal d'entrée est de la forme A cos(wt)
Lui dire que dans les condtions de stabilité: H(iw)=H(p)
H(p) s'obtient en faisant le produit de H1(p) et H2(p)
Calculer le module et la phrase et c'est caisse.
d) Calculer encore un autre truc genre réponse indicielle ou un truc dans le style (surement en utilisant les propriétés) Il m'a dit que c'était ok et que j'pouvais me casser... Fallait surement utiliser toute sorte de propriété.. Il s'attend surtout à ce que vous fassiez cela plutot que de faire vos intégrales à la bourrin
Dans l'ensemble j ai pas eu de questions trop trop dégueux. Sinon, il etait bien sympa et essaye de vous mettre à l aise ("vous pouvez enlever votre veston et vous mettre tout nu...")
Ah ouais... si vous voulez relire un résumé, que ce soit le votre(ou pas) ou celui de John, et pas passer directement dans le premier pack de students ( il vient en prendre 4 ou 5 vers 8h20-25 si y en a deja ) ben préparez vous a bien glandouiller... il prend vraiment son temps et avant d'avoir le plaisir de voir le premier connard sortir de là en vous gueulant " chuis en vacances chuis en vacances " (SALUT LUDO!) il sera deja 10 h passées... donc que les Chris, LD ou autre spécimens videurs de distributeurs s'amenent avec de quoi bouffer et boire. J'devais passer le matin, il m a fait rentrer à près de midi et j suis resté jusqu a 2 h moins quart 😡
Sinon c'est aussi un oral entièrement sur tableau... bien chiant il voulait pas qu'on écrive sur des feuilles...
Enfin bref, bonner merde.

MATH-H-201 - 22 Jun 2007

Bon en gros j'ai eu:
THEORIE:
monter que: integral sur un contour ferme de f'(z)/f(z)=2*pi*alpha
avec f(z) fonction analytique sur son contour C et dans D
f(z) a un zero zo de multiplicite alpha
en gros on pose f(z)=g(z)*(z-zo)^alpha avec g(z) analytique sur C, etc... ET g(z0)!=0
calcule f'(z) par les formules bidons de derivees ((fg)' = f'g + g'f) =p
met f'(z) sur f(z), trouve g'(z)/g(z) + alpha/(z-z0)
integre tout ca, comme g(z) analytique et non nulle en zo et g'(z) analytique aussi (car derivee d'une fonction analytique sur C analytique elle aussi sur C) => Cauchy-Goussart et pour alpha/(z-z0) on utilise cauchy 1 avec f(z)=alpha, d'où f(z0)=alpha car constante et donc emballe c'est pesé, on a fini
il m'a pose qq petites questions sur serie de laurent apres (parce que j'etais un peu parti en bollocks sur theoreme des residus, serie de laurent) notamment sur la convergence du residus
PRATIQUE:
les systemes suivants sont-ils:
a) lineaire
b) permanent
c) stable
1) y(t)=5*t*u(t)
2) y(t)=sin(t)*u(t)
3) y(t)=integrale(u(TO)*e^(3*(t-TO))dTO) ==> remarquer de c'est le produit de convolution de y(t)= u(t)# e^(3*t)
4) transmittance isomorphe: H(p)=1/(p+11)(p+1)
Attention: plutot que partir en couille sur les integrales par rapport a la stabilite, voir plutot par exemple que si t->infini dans 1) pour u(t) borné, 5*t va quand meme partir en couilles donc pas stable (ouais bien dire que stable c'est un systeme qui donne une sortie bornée a une entrée bornée)
pour la transmittance, stabilite ok parce qu'inclue axe imaginaire
C'etait ca en gros, bien que j'ai une peu couille sur des petits trucs qq fois, il etait hyper cool et essaye plutot de te faire comprendre que de te massacrer pour rien
Il m'a dit que sortant que "c'etait pas mal du tout malgre l'un ou l'autre petit cafouillage" et les points sortes demain ou lundi au plus tard pour l'ecrit (je lui ai demande en sortant, je suis pas binome de marc pour rien... info sort lundi aussi d'ailleurs avec branlee generale pour la question 4 :p)

MATH-H-201 - 22 Jun 2007

1. analyse complexe :
demo de la formule des résidus :
(m-1)
Res f(z)= phi (z0)
z=z0 -----------
(m-1)!
+ aplication : calculer le Res de f en son pôle :
(z-2i)
f(z)= -------
(3z-2)²
2. théorie des systèmes :
transformée trapézoïdale à calculer graphiquement
cf. post2 de Ludo

MATH-H-201 - 22 Jun 2007

1.- (Fiche 12) Soit C un chemin admissible fermé parcouru dans le sens positif. D est la région délimitée par C. f(z) est analytique et non nulle sur CUD, et possède un zéro de multiplicité alpha en z0 (z0 inclus dans D).
Montrer que l'intégrale sur C de f'(z)/f(z) = 2*pi*i*alpha
(ça vient de la démo du principe de l'argument)
Poser f(z)=g(z)*(z-z0)^alpha et ça va tout seul.
Sous questions:
- Enoncer le principe de l'argument + expliquer à quoi ça sert, etc.
- une autre façon de calculer l'intégrale sur C de 1/(z-z0) (sur laquelle on tombe en faisant la question principale) (j'ai dit résidus)
- qu'est-ce qu'un résidu (->serie de laurent)
- développement en serie de laurent d'une fonction ayant un pole en z0 (càd donner la formule) + domaine pour calculer le résidu.
2.- (Fiche 5) x(t) -> X(p) (transformée de laplace unilatérale). Calculer d'abord la transformée unilatérale de la dérivée troisième de x(t), puis calculer Lu(x(t)) avec x(t) solution de d³x(t)/dt³+6d²x(t)/dt²+11dx(t)/dt+6x=0 (entrée nulle). Les conditions initiales étaient données. Trouver la RDC.
Sous questions:
- Si on applique maintenant une entrée u(t), et que le système est au repos à l'instant initial, quelle est la fonction de transfert?
- Condition mathématique pour avoir un système stable. Et en pratique, avec les pôles de H(p)?
- Physiquement, quand un système est-il stable? (entrée bornée, sortie bornée)
Vous tirez une question au hasard, puis il vous laisse tout seul avec le tableau pendant 15-20 min (ou peut-être plus). Quand il revient, il faut lui exposer la résolution, et il enchaine tout de suite avec des sous questions qu'il faut répondre en direct.
Comme ça a été dit plein de fois (posts de 2005), il est très sympa, des coups de pouce pour les trous de mémoire, il essaye de voir si vous avez vraiment tout compris, et vous donne la bonne réponse en vous expliquant si vous avez mal répondu. D'ailleurs, si c'est un truc important, il fait la démo devant vous pour que vous ne l'oubliez plus jamais 🙂

MATH-H-201 - 27 Apr 2011

Comme les années précédentes, l\\'examen oral est composé de deux questions, la première d\\'ordre théorique et la seconde pratique. Mmmm ca a l\\'air bon!
fiche 3: Démontrer que Log(z1z2)=Log(z1)+Log(z2) et que Log(exp(z))=z,
où, Log(z) est la détermination principale du logarithme népérien.
---------------------------------------------------------------------------
La démo n\\'est pas compliquée en elle même, mais attention aux conditions nécessaires!
Arg(z1z2)=Arg(z1)+Arg(z2) si ...
Arg(e^x*exp(iy))=y si ...
Ensuite il m\\'a demander de définir ce qu\\'est \\"une fonction analytique en un point\\"? Quelles conditions doit vérifier une telle fonction? Log(z) est-elle analytique. Pourquoi elle ne l\\'est pas sur l\\'axe réel négatif (parce qu\\'elle n\\'y est pas continue, mais pourquoi n\\'est elle pas continue? ... ). Est-ce que sin(z) est analytique (OhMyGod lol)?
* * *
fiche 2: Déterminer la transformée de Fourier de
x(t) = (sin(t)*sin(t/2))/(pi t²)
Indication: F(sin(Wt)/pi t) = 1 si |w| plus petit que W
0 si |w| plus grand que W
---------------------------------------------------------------------------
Décomposez x(t) en un produit de fonction f(t)g(t) du type de l\\'indication, déduisez-en leurs transformées de fourier F(iw), G(iw).
X(iw)=1/2pi F(iw)*G(iw) (convolution)
Pour la convultion je vous conseille de déterminer graphiquement
F(iT)G(i(w-T)) (5 intervalles à considérer, selon la valeur de w. Pour deux d\\'entre eux la fonction est identiquement nulle, pour les autres elle vaut pi mais pour différentes valeurs de T).
Ensuite on intègre par rapport à T de selon les bornes définies plus haut et pour chaque intervalle de w. Ca donne une transformée trapézoïdale.
* * *
Ensuite, il m\\'a demandé la réponse à une entrée sinusoidale d\\'un système caractérisé par une fonction de transfert H(p) (H(p)->H(iw) si ... ). Et finalement, il m\\'a demandé de définir et d\\'expliquer les courbes de Bode (oui les courbes de Dobe Thur :)).
Franchement il est vraiment cOoL, il m\\'a même proposé d\\'enlever mon veston :). Mais sachez justifier TOUT ce que vous faites. Sinon, ne pensez pas que c\\'est foutu parce que vous avez réussi (ou raté) votre question, car une flopée de questions subsidiaires bien sympathiques vous attend: L\\'apétit vient en mangeant (wtf)!
Bonne chance pour la suite guyZ,
Ludo.

MATH-H-201 - 27 Jun 2005

Question 5
Démontrez que toute fonction analytique s/ domaine simplement connexe D admet une primitive. Facile, rebalancez la démo du cours et sachez justifier que l'on a abs(s-z)infini) de y(t) vaut 1/a*b.
Subsidiaire : réponse à Asin(wo*t) (balancer une formule du cours). Ne commettez pas comme moi l'erreur de calculer la phase et le module de H(i*w) en bourrinant et en développant : revoir les propriétés de module et argument(s) de produits. Commentaire ici : "Vous connaissez l'expression tuer une fourmi avec un marteau?" (J'avais vraiment bourriné).
Bilan : malgré quelques petits cafouillages, je connaissais mes démos assez pour les réécrire sans y penser. Il avait l'air très content...

MATH-H-201 - 26 Jun 2005

1) fiche 11: si phi(z) analytique et non nul en z0 et
f(z)=phi(z)/(z-z0)exposant m alors z0 est un pole d'ordre m
et le residu vaut phi(z) derivee m-1 fois sur m-1 factoriel.
donc on part avec phi(z) en serie de taylor puis on divise le tout par
z-z0 exposant m et on voit que f(z) estune serie de laurent et donc on
remarque que z0 est bien un pole et le residu est le facteur devant b1
comme dans le cours en fait
en déduire le residu de je sais plus mais c'était assez simple.
puis plusieurs petites questions comme integrale de 1/z dz avec
|Z|=1 par differentes methode
2) meme question que question2 post 46

MATH-H-201 - 26 Jun 2005

1) dom d'analycité de Log z et trouver sa dérivée ds ce dom.
il faut expliquer le dom, lui dire pq ca y est pas anal (paske ca y est pas continue) verifier les eq de cauchy riemman et continue ds son dom--> la dérivée existe et on la calul.
bon c une question simple donc apres il enchaine intégrale, residus,laurent, taylor, ... parcourt le cours.
2) un graphe pour lequel faut trouver la transformée de laplace.
c le mm que lexo 1 du tp 9 ms en beaucoup plus simple

MATH-H-201 - 25 Jun 2005

question 1 : enoncez cauchy riemann et demontrer que cela prouve l'existence de la derivé en z0 de f(z)
la c la demo de cauchy pour lui faire plaisir et puis il pose des kestion sur ca et il demande de l'appliquer a norme de z au carré pour trouver les points ou la derivé existe
question 2 : transfo de fourier de (sin(t) sin(t/2)) / pi t² ,
la j'ai rien compris au debut , mais il m'a rappeler que a transformé de fourier d'un produit donne la convolution de la transformer, donc on divise x(t) en deux partie sin t / t et sin (t/2) / pi t
on applique l'indication ki l fourni pour trouver les transoformé ,
et quand on a les deux transofmer ca sert a rien d'intergé il veut un dessin :s :s:s , il faut lui ecrire a definition du produi de convolution et faire le dessin des deux transformé et la faire la convolution sur le dessins en mutlipliant les deux fonction et en calculant geometrikement l'aire sous le resultats;
PS : a faire chez soi on sait jamais de tomber dessus beurkkkkkkkkk
question subsidiaire : un systeme H(p) discuter kan est cekil admet une transormé inverse et parler de stabilité , rayon de convergence ,
une integrale a effectué, serie de laurent, rayon de convergence de serie de laurent et de taylor
Bref il ballade partout , mais il est pas si sympa qu'on le dit : il te laisse pas reflechir ni meme ecrire, il te coupe et te repose une autre puis reviens sur la question : bref faut maitrisé et evité de dire des conneries
Bonne merde

MATH-H-201 - 25 Jun 2005

1er question : fiche 12 qui serait la même que 18 (à en croire ce qui était marqué) donc idem que Valérie :
"1) fiche 12: On a un contour C, sens positif, f analytique sur C et D (intérieur de C), et f a un zéro de multiplicité alpha dans D. On demande l'intégrale sur C de f'(z)/f(z) dz. Pour faire ça j'ai dit que f(z)=g(z)*(z-z0)^alpha donc f'(z)=g'(z)*(z-z0)+g(z)*alpha*(z-z0)^(alpha-1). On divise les deux comme dans l'intégrale demandée, on aura le terme avec les g qui s annule car g et g' sont analytiques, et l'autre terme sera égal à 2*i*pi*alpha par Cauchy."
2e question :
calcul d'une transformée de laplace d'une fonction periodique dans on avait le graphe (en gros on détermine d'abord la fonction sur une seule periode puis sur toute donc multiplié par (1 +e^-2p +e^-4p +e^-6p + ...) si periode de 2 et qu'on peut remplacer si |e^-2p|<1 par 1/(1-e^-2p) ca ressemble tout à fait à un des exercices de la séance 8 ou 9
Pour le reste il pose pleins de petites questions surtout sur les définitions de base (fct analytique,stabilité,fct causal, ...)
Perso la démo ca a été plus ou moins et la deuxième bien il avait l'air de dire que c'était bon (sans être exceptionnelle 🙂 )

MATH-H-201 - 25 Jun 2005

question 1:
démo du produit de convolution par fourier
question 2:
appliquer le principe de l'argument sur 1/z³ et 2(z-1)
je sais pas pour ceux qui le trouvaient sympa mais il laisse pas en placer une et il pose pleins de petites questions bien chiantes donc soyez pas trop happy si vs savez répondre à la fiche, le lynchage vient juste après =/

MATH-H-201 - 24 Jun 2005

question 1:
-----------
on a un SLP et bon on nous demande la sortie pour une entree u...c'est donc le produit de convolution de u avec h
ensuite demontrer la transformée de laplace d'une convolution avec rdc+dirichlet+c quoi causal+proprietes des systemes causals(rdc,stabilite,ect)+condition pour passer de H(p) à H(iw)+sortie du systeme a l'entree u(t)= 5 sin3t en precisant qu'il veut une reponse temporelle+pleins de questions sur les rdc (ce que ca signifie,pq pour tel ou tel systeme on a tel rdc, pour les causal pourquoi on a juste
R(p)>alpha+ ..c'est parceque alpha- est infini, il faut demontrer cela en separant X(p) en X+(p) et X-(p) )))
bref une petite question qui s'est vite transformee en un enorme bazar
Question 2:
-----------
verifier le principe de l'argument pour deux fonctions avec deux contours donnés...puis calculer une integrale ou g choisi d'utiliser cauchy et bon il fallait expliquer qq trucs sur cauchy comme le faiut qu'avec ca on ne peut calculer que lorsque qu'on a un seul et unique pole en z0
conclusion:
-----------
moi je n'ai pas eu besoin de son aide donc je peux pas vous dire si il est sympa ou non mais en tout cas aujourd'hui on aurait dit qu'il voulait absolument trouver un truc que je ne connaisse pas....il m'a lache pleins de petites questions vicieuses qui demande une comprehension accrue de tout le cours...c'etait genre un comme un defi entre nous deux.... comme quand le maitre qui se lassait de se battre contre des debutants avait enfin trouve une jeunot qui puisse lui faire tete...comme lors de ces grandes batailles ou tout a coup vous croisez le regard de l'ennemi pret a vous trancher la gorge...vous le haissez mais en meme temps vous entretenez avec lui une certaine relation d'"amitie" si je peux dire..car c'est lui qui vous permet d'atteindre l'apogee de votre art...
bon un pti schnoupage en couilles ou roubignoles (comme vous le voulez) avant la fin de cette année

MATH-H-201 - 24 Jun 2005

j'ai eu deux kestion en analyse complexe today ,
1) soit un signal d'entrée u(t)=Acos(w0t) lorsque t--->vers - infini ...on demande de calculer la sortie de ce signal avec la transmitance isochrome --->H(iw) ki est donnée . Pour arriver au resultat final , il suffit de partir de la demonstration pour le cas en sinus mais en le remplacant par un cosinus . On trouve la transformée de fourrier du signal d'entrée ki est une fonction periodique ( U(iw)=2*pi*a(k).......) et pour le reste c'est comme la demonstration dans le cours sauf k'on ici un cosinus .
2) integrale f(z)dz avec f(z)=1/((z^2+1)(z^2+4)) dans les deux cas suivant :
a) le cercle de rayon 1/2 : dans ce cas ci l'integrale est nulle par cauchy goursat
b) le cercle de rayon 3/2 : appliquer le theoreme des residus et ne pas decomposer en serie de laurent car pour decomposer cette fraction en somme de fraction simple vu ke le denominateur est d'ordre 2 ca fait 4 coefficient a calculer trop long , le mieux est d'appliquer les autres theoremes de calcul des residus beaucoup plus rapide .. dans ce cercle il n'ya ke 2 residus en +i et en -i et en sommant les deux residus on trouve zero... voila

MATH-H-201 - 24 Jun 2005

put1 on est maudit je suis passé today et c t trop hard....
demontrer que la derivee seconde d'une distribution est une fonctionnelle et que celle-ci respecte les conditions de dirichlet....exagere trop la folie.enfin pour la deuxieme c t + simple, demontrez le produit direct de 2 distributions.Je me suis fait arracher mais bon ca arrive bonne chance pr le reste. 🙁

MATH-H-201 - 24 Jun 2005

Moi j'ai vraiment pas eu de chance
question 1, demontrer que la fonction d heaviside est une distribution. Il nous donne pour celà un théorème qui nous indique que l integrale d une distribution est une distribution.
question 2, expliquer les courbes de bode et dire ce qui se passe si le systeme est non causal.
Perso j en ai pas touché une
Bonne chance aux autres

MATH-H-201 - 24 Jun 2005

-1er question:
prouver que si f(z) en z0 est analytique alors f'(z) l'est aussi en z0 (lui redémontrer les formules de cauchy, il avait l'air d'avoir apprécier)
Questions subsidiaires: définir ce qu'est un résidus (plus expliquer les série de laurent) et ensuite résoudre une intégrale en utilisant le th des résidus (la je me suis un peu embrouillé)
2ème question:
X(p)=exp(-3p)/(p+1)(p+2)
trouver x(t)pour les diverses RDC
Suffit d'utilise l'équivalent du th des résidus pour les transformées de laplace.
Questions sub: expliquer les RDC et trouver la réponse indicielle (la, j'ai eu un gros trou, mais il m'a bien aidé et j'ai pu retrouver la def de la réponse indicielle)
Verdict: Vous maitrisez bien la théorie de la première partie, mais vous calculez lentement... Et la deuxième question fut un peu plus laborieuse... Ma ça devrait aller (ouf)
Il est vraiment très sympa et vous aide si ça ne va pas. Par contre, je ne pense pas qu'il donne les points facilement...

MATH-H-201 - 23 Jun 2005

Quel est la transformée de Fourier de x(t)=x1(t).x2(t) (produit de fonctions) ?
Calculer la série de Laurent en 3 de 1/(z²(z-3)²)

MATH-H-201 - 23 Jun 2005

théorie
démontrer la propriété de symétrie de la Transposée de Fourier
démontrer que si x(t) est réelle et impaire, alors X(iw) est imaginaire
pure et impaire
exercice
une fonction (I forgot which one) à développer en série de Laurent dans 2 domaines
il est sympa mais ça dure très très longtemps (2h30 pour moi) et il fait très très chaud !!!
bonne chance à tous et vive les Mauves 🙂

MATH-H-201 - 23 Jun 2005

question 20: il s'interresse tres fort aux régions de convergence et il m'a demander de demontrer Y(p)=H(p). U(p) pour un système causal
question 6: calculer la série de laurent de 1/(z² .(z-3)²) autour de z=3 + region de convergence +calcul du residu en z=3 de 2 manieres
puis calcule d'1 intégrale grace aux résidus

MATH-H-201 - 27 Apr 2011

fiche 8 :
demontrer la que f(z) peut se mettre en série de TAylor.
Autres sous question:
- dessin de z-z0 et de s-Z0
- autre série pour f(z)? (oui Laurent)
- Théorème des résidus??
application a un calcul d'une intégrale.
fiche 7 :
5 système sont t ils permanent, linéaires, stables??
1) y=5t*u(t)
2) y=sin(t)*u(t)
3) y=int[u(tho)exp(3*(t-tho))Dtho]
4) H(p)=1/(p+11)(p+1) RE(p)>-1
j'ai eut qq question sur les liens entre les différentes expression de la stabilité car je métrisais pas cette matière
sinon il est très simpas et essaye de vous faire trouver ce qu'il veux par plusieurs petites question...
vala++

MATH-H-201 - 22 Jun 2005

Alors j'ai eu la question 19: ca concernait la stabilité
à partir d'un SLP et sachant que H(p) est une fraction rationnelle:
1)définir la stabilité pour le système
2)définir les CNS sur h(t) + démo sur une CS
3)démo sur les CNS de H(p)
Alors je ne connaissais pas la définition, il me l'a donné et j'ai veinement chipoté quelque chose...
Question 7 : vérifier le théorème de l'argument pour les fonctions suivantes
a) f(z)=1/z³ avec C: |z|=1
b) f(z)=2(z+1) avec C: |z-3|=1
Alors il faut d'abord expliquer T=Z-P
puis ensuite, écrire z en coordonnée polaire sur teta compris entre 0 et 2pi. Et là il faut compter le nombre de tour...
pour a) T=3
pour b) T=0
Je ne peux malheureusement vous en dire plus car j'ai pas étudié le cours... (sans commentaire)

MATH-H-201 - 22 Jun 2005

Théorie:
(10) Théorème des résidus
bein la c'est dans le cours.
Pratique:
(2) donner la transformée de fourrier de ((sin(t).sin(t/2))/(pi*t²)
indication : F((sin(Wt)/(pi*t))= 1 si |omega|W ... je crois
et la j'ai rien compris

MATH-H-201 - 22 Jun 2005

fiche 16:
---------
transformé d'un produit de convolution par laplace et domaine de convergence
questions sub:
Peut-on a voir l'infini comme domaine de convergence ?
Si on voulais remplacer p par iw quelles condition doit-on respecter?
comme j'avais pas repondu aux deux premieres questions il a change de sujet
reponse d'un systeme du genre exp(-3w)/(iw+1)(iw+4) a une entre du type
4sin( 2t)+5sin (7t)
comme j'y arrivais toujours pas on est passer a la question suivante
fiche 6:
--------
determiner le developement en serie de Laurent de 1/z²(z-3)² autour de z=3.donner le residu et la multiplicite du pole ainsi que le domaine de convergence.
indication:
poser q=z-3;
derivee de 1/1-z donne 1/(1-z)²
j'ai fais un raisonnement sur le tableau mais il etait faux cela dit il a poser des questions sub a savoir:
peut -on avoir un autre developpement autour de z=3? quelle serait sont rayon de convergence ?
Calculer une integrale tel que 1/z²+16 sur le contour [z-1]<3?
Comment calcul ton le residu d'une telle fonction ?
j'ai eut bcp de question sub probablement parce ke j'avais rater la gros question et que j'avais pas repondu a bcp d'entre elles

MATH-H-201 - 21 Jun 2005

salut
fiche 20 comme vero : explique ce qu'est la RDC + expliquer le produit de convolution avec un schéma)
fiche5 : a) int circulaire de DZ/Z
1)|z|=1 (2pi*i)
2)|z-1|=1/2 (=0 cauchy goursat)
b)int circ dz/z (=0) (mms contours)
pour le b, il demande si on peut évaluer l'int avec une primitive=>oui et comme boucle=>int=0
voila, il m'a dit que je m'e, tirait pas trop mal
bons oraux(presque la fin!!!)

MATH-H-201 - 21 Jun 2005

fiche 20: déterminer y(t) en fonction de h(t) et u(t) et ensuite démontrer la relation entre Y(p, U(p) et H(p) en précisant le RDC
questions supplémentaires: quel est la condition si le système est causal, et si il est stable.
fiche 1: donner le développement en série de Laurent de -1 / (z-1)(z-2) pour les domaine |z|>2 et 1<|z|<2
questions supplémentaires: comment calculer l'intégrale de 1 / (z³+1)?

MATH-H-201 - 21 Jun 2005

- Cauchy-Riemann: énoncer et démontrer que CN pour existence dérivée de f en un point (sympa comme question, puis il a parcouru un peu toute la première partie, des résidus aux fonctions log et autres en passant par les séries de Laurent...)
- la transformée de Laplace X(p)=exp(-3p)/((p+1)(p+2)) détermine-t-elle univoquement x(t) -> non -> calculer x(t) (le faire pour les 3 RDC différentes, avec Re p qui est plus petit ou plus grand que le pôle) il suffit de faire un glissement puis d'utiliser la décomposition en fractions simples ou/et les résidus (comme on a le tps c bien de faire les 2 méthodes pour l'impressionner 😉 en fait il a pas trop été impressionné, il a posé plein de questions vagues et vastes sur la 2e partie (stabilité, courbes de bode...)
Au fait: il est trrrrrès méchant !!! 😉 haha, super sympa, vrt ("il fait chaud, tu peux laisser tomber la cravate et le veston et retrousser tes manches...")

MATH-H-201 - 21 Jun 2005

fiche 14 :
Demontrer la relation pour la trasformée de Fourrier de : x(t)= x1(t)*x2(t)
<--> X1(iw)X2(iw)
comme dans le cours quoi.
Plus, - que se passerait t'il si au lieu d'avoir un produit de convolution on avait juste un produit.
fiche 4:
L'intégrale sur un coutour fermé de f(z)
-sur un contour ne contenant pas les poles
-sur un contour contenant les poles
Comment calculerait t'on l'intégrale si ce n'était pas un contour fermé?

MATH-H-201 - 20 Jun 2005

fiche 10: th des résidus, def des résidus, apllication dans le calcul de transformée de Laplace inverse. Apllication pour 1/(Z^4 + 1) -> rechercher les poles et appliquer le théorème des résidus.
fiche 7:(exo) verifier si ces systèmes sont linéaires, permanents et stables pour 5tu(t), sin(t)u(t),une convolution et une transmittance isomorphe; puis il enchaine sur les courbes de bode...
Bon courage à tous

MATH-H-201 - 20 Jun 2005

Question 6:
Première formule de Cauchy
Question: qu'est que vous utliseriez pour calculer int (dz/(z-1)²): seconde formule de cauchy. C'est égal à quoi? 0.
Existe t i quelque chose d'autre pr le calculer? oui formulse des résidus.
Utilisez-la 1/(z-1) est sont propre développement en série de laurent pr |z|<1.
Question1=Question 25????
La même que Jon avec le triangle.
Questions: vous utilisez la propriété de produit devient une convolution, existe t il une réciproque ? oui produit de convolution<-> produit de trsfo de fourier.
A quoi servent les produits de convolution pour un slp? y(t)=u(t)*y(t)
Stabilité d'un systeme... Parlez-moi des courbes de bode
Voilà merci

MATH-H-201 - 20 Jun 2005

question 1: transformée d'une convolution + conditions de dirichlet + stabilité+ courbes de bode (utilité : on a la gain et la phase pour toute frequence donc si entrée sinusoidale on connait la sortie !)
question 2 : developpement de laurent de 1/ z²(z-3)² (il donne des indications)
calcul de integrale de dz/1-z³

MATH-H-201 - 20 Jun 2005

Question 6 (catégorie résidus et cauchy...)
formule de cauchy:
énoncer les hypothèses sur f(z), C et z0 ( bonus track: énoncer celle sur C0)
démontrer la formule (1ère)
intégrale sur C de dz/ zcube+1 où C tel que |z-1|=1
ce qui vaut zéro paske les points zéros sont extérieurs au contour C
Question 7 (catégorie systèmes)
dire si les systèmes suivant sont : linéaire, permanent, stable
1) y(t)= 5*t u(t)
linéaire et non permanent, pas stable paske si on prend u(t) = heaviside(t)
on remarque que y(t) n'est pas borné
2) y(t)= sin(t) u(t)
linéaire et non permanent et stable paske sin(t) borné (en utilisant le meme stratagème que au dessus)
3) y(t) = int(|-infini à +infini) de u(tau) exp(3(t-tau))dtau
linéaire et permanent
ici il faut utiliser la définition de la stabilité int(-infini à +infini) de |h(t)| inférieure à l'infini
4) H(p) = 1/((p+11)(p+1)) Re(p)> -1
linéaire et permanent d'office car SLP
stable car les poles sont hors RDC
Voilà, il est très sympa mais il faut connaitre les justifications et penser à tout

MATH-H-201 - 17 Jun 2005

Q22 : reponse d'un système dont on connait H(iw) à l'entrée cos(w0t + theta0) avec w0 et theta0 réels positifs et sachant que le signal est appliqué depuis moins l'infini
question subsidiaire : stabilité d'un tel système (dirichlet, dire pourquoi la partie réelle des poles de H(p) doit être négative)
Q6 : Calculer le dev de laurent de 1/(z²(z-3)²) autour de 3, puis calculer le résidu en z=3, donner l'ordre du pole et le domaine de convergence. Il vous donne d/dz(1/(1-z))=1/(1-z)² et vous indique qu'il faut poser q=z-3
questions subsidiaires : intégrale circulaire de cette meme fonction sur le contour |z-1|<1/2 puis |z-1|<3/2 (Cauchy goursat puis cauchy)

MATH-H-201 - 17 Jun 2005

fiche16
produit de covolution par la transformer de laplace
fiche 2
calcul du residu pour f(z)=-1/(z-1)(z-2) outour de z=2
enorme trou 🙁
le prof m'as carrement dis que je n'aurais meme pas la moyenne telment g t naz
tent pis mais franchement g deconnait car plus facile que ca tu meurs

MATH-H-201 - 17 Jun 2005

1) fiche 12: On a un contour C, sens positif, f analytique sur C et D (intérieur de C), et f a un zéro de multiplicité alpha dans D. On demande l'intégrale sur C de f'(z)/f(z) dz. Pour faire ça j'ai dit que f(z)=g(z)*(z-z0)^alpha donc f'(z)=g'(z)*(z-z0)+g(z)*alpha*(z-z0)^(alpha-1). On divise les deux comme dans l'intégrale demandée, on aura le terme avec les g qui s annule car g et g' sont analytiques, et l'autre terme sera égal à 2*i*pi*alpha par Cauchy. Il m'a ensuite demandée comment on calculerait l'intégrale de 1/(z^3+1) sur le contour |z|=2. C'est par le théorème des résidus, et il faut expliquer le truc avec les phi etc.
2) fiche 6: H(p)=exp(-p*tho)/((p+a)*(p+b)). Calculer la réponse impulsionnelle. Donner les conditions sur a b et tho pour l'utilisation du théorème de la valeur finale. L'utiliser pour calculer la valeur asymptotique de la réponse indicielle du système. Quelle est la réponse à l'entrée u(t)=4sin(5t).

MATH-H-201 - 17 Jun 2005

voilà, j'ai eu l'oral ce matin:
1)équations de Cauchy-Riemann+ démontrer que c'est une condition nécessaire du fait que la fonction est dérivable en z0
2)des systèmes où je devais déterminer s'ils étaient linéaires, permanents, stables. parmi eux, des sytèmes disons normaux, une convolution et un H(p)=... la dessus il a enchaîné sur des questions au sujet de H, notemment ce que ça donnait si le signal d'entrée était sinusoïdal...
il m'a dit que globalement ça irait mais que ça ne rattraperait pas mon écrit!
je pense qu'il est sympa mais ne donne vraiment pas les points et s'il se braque sur un petit truc au début de la démo, il regarde mê pas la suite.

MATH-H-201 - 16 Jun 2005

fiche22: on donne H(iw) transmittance ischrone et il faut calculer la réponse au signal d'entrée u(t)= A.cos(w0+theta0) avec w0 et théta0 des réels positifs.
fiche5: sur les chemins C:
a)|z|=1
b)|z-1|=1/2
calculer les intégrales sur C (contour fermé) de:
1)1/z
2)1/(z^3)
subsidiaire: -peut on calculer la deuxième intégral d'une autre
façon qu'on utilisant le théorème des résidus?
--->utiliser une primitive de 1/(z^3)
-peut on faire de meme avec le première intégral?
si non pkoi?

MATH-H-201 - 16 Jun 2005

Théorie 17:
-démontrer que la transformée de fourrier de(conjugué de x(t))=conjugué de X(-iw)
-démontrer que si x(t) est réelle et impaire, alors X(iw) est purement imaginaire et impaire. ( pas oublier de modifier les bornes dans le changement de variable ).
Il m'a demander ensuite quel était la réponse d'un système dont il donne la transmittance H(iw)=e^(-iwtau)*1/(iw+a) ( tau,a € R+ ) , pour un signal d'entrée u(t)=3*sin(2t); j'ai proposé de jouer avec la convolution, mais il voulait quelque chose de plus rapide...je savais pas du tout; et il m'a demandé de calculer |H(iw)| et arg(H(iw)) ???
Pratique 6:
-Série de Laurent de la fonction f(z)=1/(z²(z-3)²) autour de z=3; il donne des indications pour aider. Il demande aussi de donner le résidu de la fct (: c'est b1) et le domaine.
Série de Laurent de 1/(1-z) = somme sur n de z^n (|z|<1) . Il donne que
1/(1-z)² est la dérivée de 1/(1-z) => on peut déduire sa série de Laurent en dérivant celle de 1/(1-z) : c'est somme sur n de n*z^(n-1) (|z|<1).
De la on peut trouver la série de Laurent de la fct 1/(3-z)² ( comme au tp...).
Ensuite, il m'a demandé de calculer une intégrale sur un contour en utilisant les résidus : => théorème 7,8.
Faut tout connaître de ce cours, car il risque de se ballader partout. Et autre chose très importante, se souvenir un minimum de ses tps ( si vous trouvez que c'est loin, revoyez un peu ).

MATH-H-201 - 16 Jun 2005

hello,
bon ben dabord je ne sais pas prk mais g eut deux kestions pratiks!!!!alors faites gaffe et refaites vos tp...pas comme moi:p
1°kestion: calculer la réponse du système avec une entrée "Acos(w0t)" et H(iw)...faut faire ça avec les impulsions de dirac car les fonctions ne vérifie pas dirichlet(ya un exo similaire ds les dernière séances de tp).vu kjarrivais a rien faire il a vaguement posé kelkes kestions théorik mais kasi rien (condition de dirichlet)
2° kestion:calculer des intégrales soit par cauchy goursat,soit par cauchy...et une intégrale sur un contours non fermé(faire avec la primitive).
vu kya kelkun ki est passé aujourdhui et ki a pas le net,je vous transmet ses kestions:
1° théorème de la valeur finale
2°calculer les résidus et l argument de 1/((z-8)^3),voila le seul truc +- compliké est de savoir trouver les racines
sinon c est vrai kil reste très sympa meme kan vous faites un oral lamentable...mais bon sympa veut pas dire donne les points!

MATH-H-201 - 16 Jun 2005

voici les queston que j'ai eu ce matin:
1- il y avait 2 chose à démontrer:
a-) le conjugué de x(t) ---F---> le conjugué de X(-iw)
b-)si x(t) est une fct reélle impaire, alors X(iw) est une fct purement imaginaire et impaire.
J'ai eu comme questions auxiliaire la réponse d'un système avec comme entré une sinosoide. (aussi une sinosoide)
2- trouver par la méthode de la série de Laurent le résidue de
f(z)=-1/((Z-1)(Z-2)) pour z=2
Voila et comme mentionné précedement il est treeees sympa.
Bonne bloc pour tous

MATH-H-201 - 16 Jun 2005

théorie: fiche 6: démontrer la première formule de cauchy,questions en plus:calculer une intégrales sur un contour C |z|=1/2,avec ds ce cas toutes les racines extérieure à C => intégrale=0;même problème pour |z|=3/2;ne pas la calculer,juste expliquer comment procéder;cf résidu.
exercice: fiche 8: a) calculer la réponse impulsionnelle d'un système en parallèle=> y(t)= h1(t)+h2(t).
b)pente à l'origine de la réponse indicielle du même système avec H1(P) et H2(p) données(je me rappelle plus des valeurs exactes...)
c)réponse du mëme système avec u(t)=3.sin(2t+5)
avec en plus des petites questions sur les courbes de bode.
voilà,comme tout le monde je l'ai trouvé très sympa.
bon courage à tous.

MATH-H-201 - 16 Jun 2005

salut tlm!
alors j'ai eu
1)
montrer que pour une fonction réelle impaire, la transformée de Fourier est imaginaire pure et impaire. cette question est tres simple, mais en fait il passe environ 20min à poser plein de questions sur chaque ligne que vous avez ecrit sur le tableau.
2)
exercice sur le theoreme de l'argument. idem que les fonctions postées par Alexandre...
voilà, un dernier truc: il faut vraiment savoir expliquer intégralement tout ce que vous écrivez au tableau. (ou expliquer ce que vous sautez comme étapes...). donc n'apprenez rien betement par coeur, vous n'irez pas loin avec ca...
courage à tous,
sha

MATH-H-201 - 16 Jun 2005

Question "Première partie" :
----------------------------
Déterminez le domaine sur lequel Log z est analytique. Déterminez ensuite sa dérivée sur ce domaine.
En plus, il m'a demandé si ce calcul de dérivée me permettait de calculer l'intégrale sur un cercle de la fonction 1/x (dérivée de Log z) et si non, comment. La réponse est non bien sûr, il faut utiliser le théorème des résidus.
Question "Deuxième partie" :
----------------------------
On reçoit un schéma avec deux systèmes en parrallèle du fonction de transfert H1 et H2.
a) quel est la réponse impulsionnelle du système ?
b) sachant que H1(p)=... et H2(p)=... sont les fonctions de transfert de deux systèmes causals, quel est la pente à l'origine de sa réponse indicielle.
(note : Il ne faut pas calculer explicitement la réponse indicielle, il y a moyen de trouver cette pente en calculant directement la transformée de Laplace de la réponse indicielle puis la transformée de Laplace de sa dérivée)
c) si l'entrée est 3sin(2t+5), quelle est la sortie ?
(Il suffit de travailler avec le module et la phase de la transmittance asynchrone --je crois--)

MATH-H-201 - 15 Jun 2005

Comme prévu, deux questions : une de théorie et une de pratique. On s'amène par quatre dans son service et on tire un petit numéro entre 1 et 22. Et là, c'est parti pour deux heures de bonheur, voire plus...
Question théorique : démontrer que le développement en série de Taylor d'une fonction analytique sur un disque ouvert D est donné par .. serie[an (z-z0)^n]
Donc rien de bien sorcier, il faut faire comme dans le cours en partant de la première formule de Cauchy où on modifie s-z en (s-z0)(1-alpha) et puis on développe le tout. Après ça, on montre que le reste converge vers 0 lorsque n tend vers l'infini et on utilise la formule de Cauchy généralisée à la dérivée n ième pour trouver que tous les termes de la série de Taylor.
Petit détail mais sur lequel il avait l'air de tenir : le contour C qui est utilisé dans la première formule de Cauchy est un contour qui est DANS le domaine D (le disque est ouvert mais il contient tout de même ce contour, ce n'est pas un contour qui "entoure" le disque en-dehors de celui-ci).
Question subsidiaire : que vaut l'intégrale circulaire de dz/(z^4) sur un contour C défini par |z-5|=4. Pour ça il faut juste remarquer que l'unique pole de la fonction (c'est-à-dire 0) n'est pas inclus dans le contour C et donc par le théorème de Cauchy-Goursat l'intégrale est nulle.
Il doit passer chez les 4 personnes et si il voit que vous avez pas fini, il va voir chez un autre. Donc à priori vous avez vraiment tout le temps qu'il faut. J'ai eu le temps d'avoir un gros trou de mémoire pendant une bonne dizaine de minutes et de tout écrire ensuite, donc ça donne une idée 😉
Question pratique : là c'était relativement un sale truc auquel je m'attendais pas du tout. On donne le graphe d'une transformée de Fourier X(iw) de x(t). En gros vous représenter cette transformée, vous prenez trois points (-1,0), (0,1) et (1,0) et vous les reliez par deux droites. A partir de ce X(iw), on demande d'esquisser graphiquement la transformée de Fourier de la fonction y(t) = (cos(t/2) + 2cos(5t))*x(t)
Donc là j'ai commencé à vouloir déterminer X(iw) analytiquement et trouver ensuite sa transformée inverse x(t), mais c'était assez horrible et quand il a vu ça, il m'a dit "la transformée d'un produit, ça te dis quelque chose?". Donc pensez d'abord aux propriétés avant de vous lancer dans des calculs horribles ^^
On pose donc s(t) = cos(t/2) + 2cos(5t) et on a la propriété suivante :
s(t)x(t) <-> S(iw)*X(iw) / 2pi
Pour trouver cette convolution il faut d'abord S(iw) et donc utiliser la formule d'une transformée d'un cosinus : F(cos(w0t)) = pi*delta(w-w0) + pi*delta(w+w0)
Appliqué à la fonction s(t), on obtient donc un graphe avec quatre impulsions en -5, -1/2, 1/2 et 5. On calcule ensuite la convolution :
S(iw)*X(iw) = int( S(iW)*X(i(w-W))dW )
On a donc quatre régions dans lesquelles ce produit ne sera pas nul. Pour cela, il faut déplacer le graphe /\\ de X(iw) et voir les régions où il coincide avec une impulsion. C'est un peu chaud à expliquer par écrit, mais ces régions sont : [-6,-4], [-3/2,1/2], [-1/2,3/2] et [4,6]
Dans ces régions uniquement, le produit de convolution ne sera pas nul et vaudra la valeur de X(iw). Cette valeur sera pondérée par 1 ou 1/2 selon la région dans laquelle vous êtes, mais vous devez faire ça graphiquement pour y voir quelque chose...
Le graphe final donne grosso modo ceci : anac_oral_jon.pdf
Questions subsidiaire : donner la sortie d'un système où l'entrée est un signal sinusoidal sachant que la transmittance isochrone est H(iw) -> idem que dans le cours et il faut rien démontrer, juste donner la réponse finale. Autre question : définir dirac à partir d'une définition rigoureuse (et pas à partir des distributions, ça il s'en fout apparemment ^^)
Voilà, bravo à ceux qui auront eu le courage de tout lire 😉
Bon courage. Il est franchement sympa et il aide en cas de souci.
Jon

MATH-H-201 - 15 Jun 2005

1ere question : montrer que la dérivée d'une série de puissance est ce qu'elle est (avec une indication pour aider)
+ questions subsidiaires du style région de convergence de la série de puissance… et si y a des puissances négatives ? puis de là, il m’a amené aux séries de Laurent puis le résidu… rien de bien compliqué
2e question : donner la transformée de laplace unilatérale de la dérivée 3è de x par rapport à t, appliquer ensuite sur une EDO
+ questions subsidiaires : réponse indicielle, réponse impulsionnelle…
un peu plus de détails dans le fichier envoyé sur la ML
bon travail

MATH-H-201 - 15 Jun 2005

1. Prouver que si f est analytique en zo, alors f' est analytique en zo.
Je pataugeais un peu en essayant divers trucs, il m'a dit de partir des formules de Cauchy et de leurs hypothèses et m'a laissé terminer.
Après il a posé quelques petites questions sur les résidus (définition et explication) et les séries de Laurent (domaine et hypothèses)
2. Determiner la transformée de Laplace de la fonction y(t) représentée (yavait un petit dessin). La fonction c'était: 0 pour t<0, 1 pour t compris entre 0 et 1, entre 2 et 3, entre 4 et 5, etc... et 0 ailleurs (-> sorte de signal en créneau)
Ensuite petites questions générales: C'est quoi la fonction de transfert, la réponse impulsionnelle, la convolution, la transformée d'une convolution, etc...
Ce qu'il faut savoir, c'est que si vous faites pas comme il attend (mais que malgré tout ce que vous avez marqué est correct), il vous dira comment transformer pour arriver à ce qu'il veux mais il ne vous dira pas que c'est une mauvaise méthode.
Il est très gentil, il aide si vous êtes coincés.
Il m'a dit "je ne connais pas vos points de l'écrit, je ne veux pas être influencé (merci mon dieu!), mais normalement y aura pas de problème."
Voili voilou
Bon courage à tous

MATH-H-201 - 15 Jun 2005

1ère question: démontrer la formule des résidus:
f(z) = phi(z)/(z-z0)^m où phi est analytique est non nulle en z0
=>
z0 est un pôle d'ordre m de f
et
Res_{z=z_0} f(z) = phi^{(m-1)} (z0) / (m-1)!
Il faut écrire le dévt de taylor de phi puis diviser par (z-z0)^m et puis parler de Laurent, b_m != 0 => ordre m et b1 = ... donc la formule est OK
Question subsidiaire: calculer l'intégrale sur contour fermé C de 1/(z-1).dz où C est donné par |z-10| = 3; donc on remarque que la fonction est analytique dans et sur le contour (car le pôle est en dehors) donc l'intégrale est nulle.
2ème question: calculer la transformée de laplace et sa région de convergence pour une fonction nulle en t<0 et en créneaux pour t>0 (càd y(t) = 1 pour t appartenant à [0,1] + 2*n, n >= 0 et y(t) = 0 pour t appartenant à [1,2] + 2*n
En gros d'abord calculer la transformée d'une seule période en écrivant y comme combili de fonctions d'heaviside + glissement dans le temps
puis écrire pour les périodes suivantes par glissement dans le temps; remarquer qu'on a une série géométrique de raison r avec |r| < 1 et donc qu'elle converge vers 1/(1-r) et voilà! (je crois que c'est un peu comme dans un tp)
Questions subsidiaires:
1* comment caractériser un SLP par une fonction? ----> H(p)=L(h(t))
2* en termes de transformées de Laplace ça donne quoi? Y(p) = H(p)U(p)
3* on peut repasser à la transmittance isochrone? oui si Re(p) = 0 est dans la RDC alors Y(iw) = H(iw) U(iw) ("w" = oméga)
4* qu'est ce qu'on peut dire de la réponse d'un tel système à une entrée sinusoidale? (il te donne un exemple genre u(t) = 2 sin 3t), écrire la sortie
5* comment est ce qu'on peut représenter cela? ---> courbes de bode, gain, déphasage
6* il te donne une courbe de bode ---> sachant que oméga = 3, que peut on dire de la sortie par rapport à l'entrée? remarquer que 20*log |H| = 0 d'où gain unitaire.
Voilà, bonne merde à tous

MATH-H-201 - 15 Jun 2005

question 1)
Enoncer et demontrer le thm des résidus
Definir un résidu
Expliquer son application au calcul de la dérivée de laplace inverse.
question 2)
la transformée de laplace inverse de exp(-3)/(p+1)(p+2) est elle univoquement définie ? calulez-la (les)
(développer en fct des RDC)

MATH-H-201 - 15 Jun 2005

Première question :
Si f(z) = u (x,y) + i v(x,y), w0 = u0+iv0
Démontrer que lim f(z) si z->z0 = w0 ssi lim u(x,y) si (x,y)->(x0,y0) = u0 et lim v(x,y) si (x,y)->(x0,y0) = v0.
Sachez bien expliquer chaque étape. Il ne laisse pas passez un égal sans explication.
Ensuite il m'a demandé qu'elles étaient les conditions sur u et v pour pouvoir avoir f'. Il fallait lui répondre que dérivée de u par rapport à x, par rapport à y, la dérivée de v par rapport à x et y devaient exister, devaient etre continues, et devaient respecter cauchy riemann.
Il m'a demandé ensuite si f(z)=|z|² était dérivable. Il fallait donc la décomposer en u et v et appliquer cauchy riemann pour vérifier qu'elle ne l'est qu'en (x,y)=(0,0).
Dexième question : Lu étant la transformée de Laplace unilatérale. Que vaut Lu(d³x(t)/dt³). Il faut lui répondre : p³X(p)-p²x(0)-px'(0)-x''(0).
Appliquer pour d³x(t)/dt³+6d²x(t)/dt²+11dx(t)/dt+6x=0. Vous obtenez donc X(p)=(p²+5p+6)/(p³+6p²+11p+6)=1/(p+1). Il vous demande le RDC, qui est ici >-1. Il veut savoir ce que vaut x(t). x(t)=exp(-t)heav(t).
Ensuite il m'a demandé si mon système était linéaire et permanant (donc les cond nulles) et qu'il appliqait un truc ... je sais plus quoi ... mais le truc c'était qu'il fallait ajouter 1/p dans l'équation en X(p). On obtenait donc X(p)=1/(p(p+1)(p+2)(p+3)). Et la pour finir il m'a demandé comment se comportait x(t) à l'infini. Réponse voir Th Taubériens (il faut bien connaitre les conditions pour pouvoir l'employer)
Bonne chance aux autres (en espérant que ca vous aidera)
Mag

MATH-H-201 - 15 Jun 2005

Théorie: produit de convolution, ce que ça donne avec les transformées de Laplace(+RDC), démontrer à partir du produit de convolution que Y(p)=U(p)H(p)
Exercice: Appliquer le principe de l'argument aux fonctions suivantes et montrer que ce principe est vérifié pour ces deux fonctions:
a)f(z)=1/z³
b)f(z)=2(z+1)

MATH-H-201 - 15 Jun 2005

- fiche 11: démontrer le théorème 7 sur les résidus
- fiche 27: idem exercice 1 du TP9

MATH-H-201 - 15 Jun 2005

Perso j'ai eu en théorie: démontrez la formule de la transformée de fourier de x(t) qui est égal à la convolution de x1(t) et x2(t).
Ensuite il a dévié sur dirichlet (conditions ) et sur la convolution: c'est quoi, çq sert à quoi, comment la calculer graphiquement...après il est parti sur les courbes de bode aussi.
En pratique: calcul de l'intégrale de 1/z et de 1/z^3 sur deux contours différents (C:|z|=1 et C2: |z-1|=1/2)...avec laurent et cauchy goursat voire cauchy c'est pas très compliqué non plus.
Petite précision, il ne connait pas vos points d'écrit avant de mettre sa note d'oral.
Franchement vu qu'il est très sympa et qu'il laisse le temps de réfléchir, y'a vraiment moyen.

MATH-H-201 - 15 Jun 2005

Voila il ya deux questions : une de théorie, une d'exercices :
Celle de théorie, j'ai eu la démonstration de la limite d'une fonction (p5 du cours)
En exos, trouver la réponse impulsionnelle de H(p)
avec H(p)=exp(-pu)/(p+a)(p+b) avec u réel positif et a et b réels.
On suppose le système causal.
Puis y fallait trouver la valeur asymptotique de la réponse indicielle en spécifiant les conditions sur a, b et u pour qu'elle existe.
Donc globalement c assez simple, pour autant qu'on ait refait les exercices ( ce qui n'était pas mon cas 🙁 )
Derniere remarque : si vous tirez une question signaux en théorie, vous aurez une question sur la premiere partie en exercice. Et inversément...
Voila bon courage a tous !

MATH-H-201 - 14 Jun 2005

j'ai eu donc 2 questions :
- montrer que l'intégrale circulaire de f'(z)/f(z)dz=2*pi*i*B ou B est la mutliplicité du pole p0 de f(z). f est analytique sur et dans C (le contour)... Il veut qu'on sorte une ptite série de laurent...
- donner la réponse impulsionnelle de e^(-pT)/((a+p)(b+p)). dire quels sont les hypothèses de départ du théorème asymptotique et donner la valeur de la réponse avec t->infini
il est suuuppraaa sympa !! il essaye vraiment de te repecher si t'es un peu perdu !! il met a l'aise (du genre "tu peux enlever ton veston " !). enfin, vraiment sympa quoi ! mais il donne pas les points direct...ce sont ses premiers oraux...

MATH-H-201 - 14 Jun 2005

j ouvre le bal...
alors il y a 2 questions, une de theorie puis un exo
en theorie il m a demande de demontrer qu une fction reelle impaire a une transfo de fou impaire imaginaire pure et l exo c t un dvpt de laurent ou il fallait donner le residu
les questions des autres ainsi que la mienne ressemblaient tres fort aux questions de theories posées lors des ecrits des exam precedents dc petit conseil aller faire un tour sur le site de jon
dernier piti truc, il est tres sympa

Il n'y a pas de publications plus anciennes.

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