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MATH-H-402 Introduction à l'analyse fonctionnelle et applications
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Tout d'abord on tire une fiche au hasard, on peut choisir de la conserver ou de la changer (sans incidence sur la note finale), mais on ne peut changer de fiche qu'une seule fois.Questions sur ma fiche :
On répond à une question au tableau (on peut choisir une des deux sur la fiche) et on lui explique en même temps (avec un temps de préparation tout à fait suffisant), et on répond à l'autre question sur une feuille (il passe chez nous après pour qu'on lui explique ce qu'on a écrit sur la feuille)
1/Expliquer comment on introduit les opérations de translation et de dérivation pour les distributions.
sous-questions :
-Pourquoi la distribution translatée est aussi une distribution ?
-est-ce que H^1(Sobolev) est dense dans L^1 ? (non H^1_0 l'est), démontrer que H^m est un Hilbert (norme dérive d'un produit scalaire + toute suite de Cauchy dans H^m converge dans H^m (à démontrer) )
2/Définir une application linéaire A bornée entre deux espaces normés V et W + Démontrer que A bornée est équivalent à A continue+donner un exemple d'application linéaire non continue (trouver une application linéaire non bornée).
sous-questions :
-Qu'est-ce qu'une fonction mesurable ( définition) ?
-Démontrer que si f et g ont mesurables alors max(f,g) l'est également .
Il est très sympa et aide un peu, mais il faut quand même comprendre au maximum le cours et les étapes principales des démonstrations, sinon je pense qu'il est vraiment difficile de s'en sortir.
MATH-H-402 - 17 Jun 2010
exam avec luc lemaire.démonstration du problème de poisson avec la démo du premier théorème d'un type... rien de très impressionnant. savoir justifier toutes les lignes de la démo et en particulier -<laplacien,> = <grad,grad> (intégration par parties, à développer avec intégrales... y'a un terme qui tombe à cause de l'espace utilisé et des conditions aux bords). ce que vous ne savez pas lui dire, ne le notez juste pas au tableau...
ensuite quelques définitions : espace métrique + suite de cauchy + espace complet + complétion + comment compléter + distribution + tempérée + espaces qu'on utilise (shwartz, tests, ...) + convergences associées. les définitions sont à mettre avec toutes les hypothèses (une vrai définition mathématique rigoureuse comme dans le cours, pas juste une condition comme définition...).
MATH-H-402 - 14 Jun 2010
1)Dem. théorème de plongement de Sobolev2)
- définir une distribution
- déf. une distribution témperée
- déf. un éspace metrique complet
- déf. suite convergente et de Cauchy
MATH-H-402 - 14 Jun 2010
1. Définir l'espace Lp et démontrer les inégalités de Holder et Minkowski. Il faut pouvoir définir tous les termes utilisés et justifier la moindre étape de la démonstration !2. Définir la dérivée d'une distribution + calculer la dérivée de la distribution correspondant à la fonction de heaviside. Définir suite convergente. Définir suite de cauchy. Définir convergence dans D. Définir distribution tempérée.
MATH-H-402 - 14 Jun 2010
1) Démontrer (à l'aide du cours) le théorème de plongement de SobolevBien comprendre chaque étape de la démo et faites des liens avec les autres chapitres pour faciliter l'explication des justifications...
2) Définir ce qu'est une distribution (et détailler les 3 mots utilisés : fonctionnelle, linéaire et continu)
Parler de la convergence au sens D (en définissant
D(oméga) )
Définir la norme d'une application linéaire bornée (sup d'un quotient de normes à préciser)
Définir la dérivée d'une distribution (en spécifiant la formule démontrée pour une fct et dire qu'on l'a après généralisée pour une distribution)
Définir une suite de Cauchy
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Examen en général
Faites attention car c'est Luc Lemaire qui a donné cours cette année et l'organisation de ce cours peut être différent par rapport aux autres années...
Luc Lemaire est excellent et très gentil (aller à son cours c'est facilement réussir l'examen : pour moi, il avait dit très bien au final donc allez au cours pour pouvoir tout justifier et c'est dans la poche!!!!!!!)
MATH-H-402 - 24 Jun 2009
*** Grosse Question ***Fonctions à décroissance rapide, convergence S, comparer les espaces S, S', D et D'. Parler des opérations typiques à l'espace S qui permettent de résoudre les équations différentielles et dire comment.
J'ai commencé par définir tout ce qu'il m'a demandé, y compris les termes que j'avais utilisé dans mes définitions. Puis je suis passé à la comparaison des espaces. Là c'était beaucoup plus tendu, parce que je ne comprenais pas vraiment la démo sur les inclusions continue du cours. Donc je lui ai répéter ce qu'il y avait dans le cours sans comprendre, mais il ne m'a pas posé de questions dessus. Je soupçonne qu'il ne s'attendait pas vraiment à ce que je comprenne, ou qu'il n'avait pas besoin de poser de questions dessus pour savoir que je n'avais pas compris.
J'ai continué en définissant la Transformée de Fourier et la Convolution dans les différents espaces. Pour la convolution, cela a un peu coincé parce que j'avais un peu mélangé quels phi appartenait à quel espace... et dans ma hate de recopier au tableau, j'ai recopier la mauvaise ligne, à un moment... enfin, il a eu l'air de dire (à la fin de l'exam) que c'était un détail... mais je crois qu'il a voulu être gentil.
Pour résumer, il m'a demandé de clarifier quels termes est dans quel espace pour la convolution hybride et celle dans l'espace S'. De même, pourquoi on prend Psy tilde (la réponse est que sinon on n'a pas une fonction à support compact)
J'ai terminé cette partie là en parlant de la résolution des équations différentielles sans trop de problèmes et on est passé aux petites questions.
*** Petites Questions ***
- Inégalité de Holder, et qu'est ce que ça apporte? (holder généralisé qui permet de déterminer le dual de Lp. Faire attention qu'on a montré qu'une inclusion, faire attention à laquelle, car il demande en quoi Holder généralisé permet de dire ça)
- Parler des éléments finis, de la fonctionnelle de Ritz et de l'importante hypothèse que l'on fait au départ. Faire le lien entre le principe mathématique (minimiser la fonctionnelle) et le principe physique (diviser l'espace et calculer aux points nodaux) (je n'y suis pas super bien arrivé...)
- D'autres questions dont je ne me souviens plus.
*** Remarques globales ***
Avant l'examen:
C'est un des cours les plus durs conceptuellement de notre carrière, vous voila prévenus.
Bien comprendre toutes les démonstrations, mais également savoir faire des liens entres les démos (ce ne sont pas de petites îles avec un océan entre chaque). Bien mémoriser les théorèmes et les définitions un peu partout, les formules importantes... Bien comprendre l'agencement des différents espaces.
Essayer de ne pas rentrer en premier peu aider, car alors le temps de préparation n'est pas de précisément 1/2h, mais dépend du temps qu'il met à interroger le précédent et ça prend souvent plus de temps. Mais malheureusement, il y a toujours un premier.
Pendant l'examen:
On tire une question (yen a plein, je ne pense pas que ça vaille la peine d'essayer de les répertorier) et il nous donne le temps de les préparer. Je trouve qu'il y a souvent beaucoup à dire pour répondre à la question, et que le temps est trop court et le tableau trop petit. Les deux fois que j'ai passé l'exam, il m'a félicité sur mon utilisation du tableau.
Lorsqu'il revient nous interroger, il nous laisse faire notre petit speech, et interrompt que vers la fin ou quand il ya vraiment quelque chose qui cloche. Quand on a fini, on commence les petites questions, qui balayent le cours (avec une nette préférence pour les derniers chapitres!!!). Il est gentil et n'hésite pas à reformuler les questions, ou a en poser d'autres pour nous aiguiller vers la réponse. Il est également très patient et vous laisser réfléchir. Ne pas hésiter à penser tout haut, cela peut aider à montrer que vous savez quelque chose.
Après l'examen:
Il nous parle du cahier. Ca dépend un peu de ce que vous avez rendu, mais pour ma part, j'avais récupéré mon cahier de l'année passée et je l'avais complété et corrigé. Donc il a été très content de mon cahier. Il n'a fait que demander le pourquoi d'une petite question auquel j'avais eu faux, mais c'était sans conséquences. Il m'a donné un +1 pour le cahier, ce qui fait toujours plaisir.
Pour les notes, il fonctionne par paliers. Si il considère que vous méritez de réussir, il vous met 12, et ajuste la note en fonction du cahier. Mais il ne mettra pas 14 au final, car il considère que c'est le palier de la Distinction, qui nécessite une meilleure performance. Donc il aime bien les nombres pairs 😉
Courage!
MATH-H-402 - 29 May 2009
Bon déso de vous démoraliser mais ce cours est chaud à comprendre, a étudier et l'exam est chaud aussi, mais c'est tout à fait faisable si on prend la penne 😉 de bien piger chaque détails.En gros moi j'ai eu de la chance parce qu'il m'a l'aissé genre 1 heure de préparation, mais j'avais aussi une longue question à savoir la
Question 16: Définir et démontrer les principales propriétés des distributions tempérées dans S' ET Démontrer le théorème de Palley Winner pour les distribution à support compact (donc le 2 ème) en supposant le théorème de Palley Winner pour les fonctions appartenant à D (donc le premier) et les notions utilisées (comme le lissage, convolution etc) connues.
Donc en gros, il arrive il pose plein de questions hyper en détail dans mon cas, si ça va pas il aide, il donne des indices, il est vraiment cool. La première question est plutôt de compréhension , vu qu'on a le syllabus, donc si on a pigé toutes les subtilités c'est bon. Ensuite il pose encore tout plein de petites question de manières à balayer tout le cours. C'est plutôt du style "tiens, tu m'a parlé des transformées de fourrier dans l'espace des distributions tempérées, quel est le lien avec les espaces de Lebesque" etc... Ensuite il va demander des propriétés cool de certains espaces et le nom des théorèmes important associé. Et Finalement quelques définition genre comment appelle-t-on une application u bijective telle que u et u-1 sont C(infini) ? heuuu un difféomorphisme Msieur?...
Sinon Il m'a pas trop reproché d'avoir déformé tous les noms des théorèmes et de nos grand mathématiciens tant respectés 😉
Finalement il regarde le cahier et c'est la qu'on a la mauvaise surprise de voir qu'il nous interroge sur ce qu'on a pas réussi a faire parce qu'on pigeait même pas la question donc ça c'est pas cool 😉 mais encore une fois il aide
Voila bonne chance, c'est vrai que si on sait de quoi on parle il met en général des bons points si on arrive a retomber sur nos pattes comme il dit lorsqu'il nous pose des questions.
MATH-H-402 - 29 May 2009
Question de départ: démontrer les inégalités de Holder et Minkowski + leur(s) rôle(s) dans les espaces de Lebesgue (préparation: 1/2h avec notes)Ensuite, questions diverses: parler des grands théorèmes dans les espaces de Banach, expliquer en quoi les espaces de Sobolev sont utiles pour les problèmes aux limites, parler de l'image directe et inverse d'une distribution, définir régularisation canonique, de quels types sont les espaces de Lebesgue (Hilbert, Banach) ...
Ensuite, on a regardé mon cahier. Je n'avais pas fait un exercice que je n'avais pas compris. Il m'a donc proposé de le résoudre ensemble....hum, ce ne fut pas très brillant.
Ceci dit, je trouve qu'il est généreux avec les points. A posteriori, je conseillerais donc:
- d'aller au cours pour toutes les explications sur les démonstrations
- de lire et comprendre les démos
- de bien bloquer les théorèmes et propositions
Alors, il ne devrait pas y avoir de problème. Attendez-vous à rester 1h20 dans la salle.
MATH-H-402 - 27 May 2009
Moi j'ai eu produit de deux fonctions dans les espaces de Lebesgue (ou Lebessssgue pour Jess 😉 ) ainsi que la démonstration du théorème de Riemann-Lebesssgue. Conseil pour les deux : bien justifier toutes les étapes (juuuure...)Ensuite, comme l'a dit Jess, bien connaitre les théorèmes (j'ai dû en citer 3-4) mais le plus important c'est de savoir leur signification, leur impact, à quoi ça peut servir (ça c'était moyen pour moi...), c'est-à-dire , comme le dit ce cher Frédéric, de ''paraphraser'' ces théorèmes.
Voilà, bonne chance aux suivants...
MATH-H-402 - 27 May 2009
HelloJ'ai eu la question 2: tout ce qui concerne la compacité, exemples d'espaces compacts, lien entre la compacité dans un espace métrique (séquentiellement compact etc...) et encore un théorème à démontrer...donc pdt 20 minutes c'est du recopiage intense du cours...ce qui n'a en soi pas beaucoup d'importance parce que dès qu'on lui a expliqué ce qu'on a fait, il commence à balayer le cours. Vraiment plic-ploc, parfois il change complètement de registre. Un petit conseil: retenez bien tous les théorèmes avec les noms bizarres :-). Quand je ne savais pas directement, je réfléchissais tout haut, en définissant les notions, alors ça devient presque une discussion
Voilà moi ça a bien été 🙂
MATH-H-402 - 14 Jun 2008
Question à préparerPropriétés locales des distributions, produit tensoriel image directe, image inverse.
Autres questions:
Inégalité de Bessel?
Les TF ont certaines propriétés dans certains espaces.. lesquel(le)s..
Eléments finis, comment on en arrive à un système linéaire discrétisé à partir du problème continu
Autres joyeusetés auxquelles je ne savais pas répondre..
Bref pour ce cours il faut:
1)comprendre le moindre détail de chaque démo
2)comprendre le cours dans sa globalité
3)connaître chaque définition, chaque proposition, chaque théorème, dans les moindres détails
MATH-H-402 - 14 Jun 2008
Toutes les propriétés des espaces L2 avec démos :D < S < L2 < S\\' < D\\'
Plancherel
Stieltjes-Riemann & L(S)
Puis les questions sur le côté : Savoir énoncer tous les théorèmes, connaître les notions exploitées lors des tps etc.
MATH-H-402 - 14 Jun 2008
*** La Question ***J'ai eu la question 5: définir les espaces de Banach, donner un ou deux exemples, énoncer et démontrer le théorème du graphe fermé.
je n'ai pas eu de problèmes avec ca, car j'avais vu en détail toutes les démonstrations jusqu'au chapitre 4. il n'y a qu'une justification que j'ai eu un peu de mal, mais il m'a aidé et c'est passé.
Il était plutot content de cette partie là.
*** Les petites questions (aka massacre a la sauce fonctionnelle) ***
Il m'a posé des questions principalement sur les chapitres 5 et suivants, ceux que je n'avais pas bien vu. Donc, lui donner la définition d'un espace de Sobolev, ca passe encore (si je m'étais souvenu que g appartenait aux espaces de Lebesgue).
mais lui dire ce que donne le théorème de Paley Wiener ("pas dans les détails, mais globalement") n'a pas été car il voulait savoir dans quel espace était phi... de meme, quand il me parle des suites de fourrier généralisées, je ne me souvenait meme pas de l'avoir lu dans le cours, c'est vous dire (c'est plus ou moins lié a Gram Schimdt et aux coefficients de fourier, mais je ne sais pas comment). Et il a terminé par me demander ce que je savais de la valeur principale(1/x), mais je n'avais qu'un souvenir très vague de la régularisation, et je ne me souvenait pas que vp(1/x) était une distribution.
Sans surprise, il n'était pas du tout content de cette partie là. En conséquence, il m'a mit 8 à l'examen.
*** Le Cahier ***
Il a été plutot content de mon cahier, meme si je ne sais pas trop ce qu'il lui trouve. J'ai fait 50% de prise de note au TP, 50% de copiage des indications de réponses qu'il donne sur son site. Il m'a mis 15.
Un bon cahier aide, mais ne sauve pas. En effet, avec 15, cela m'aurait fait 10 au final. Mais ne considérant pas que je méritais de réussir (ce en quoi je ne le blame pas), il m'a mis 9.
*** Conclusions ***
Etudier le cours durant toute l'année, ca aide vraiment. Comme ca, vous ne devez pas passer 9 jours d'études en session rien que pour cet examen. En plus, vous avez une petite chance de comprendre ce qu'il dit au TP, et ca, ca aide aussi.
Sinon, ma méthode n'était pas mauvaise en soi, je pense:
une première lecture "rapide" de la matière (qui idéalement comprend la création d'une liste des Espaces, Définitions et Théorèmes importants), suivie d'une lecture "en profondeur", durant laquelle on essaye de comprendre chaque définition l'une après l'autre, en détail. Et on termine par une "étude par coeur" de la liste créée auparavant.
Dans un monde parfait, vous ne devriez faire que l'étude par coeur durant la session, et en deux jours, c'est fait! Mais vu que personne ne vient voir le site des oraux au début de l'année, je ne sais pas a qui cela va servir, ce discour.
MATH-H-402 - 14 Jun 2008
Q12 : Lissage et régularisation.J'avais l'air con, j'avais pas réussi a finir quand il est arrivé. Donc mes régularisations n'étaient pas brillantes.
Le seul conseil que l'on peut donner pour réussir cet examen (d'un cours qui est a mon sens le plus compliqué de la faculté) c'est de lire une fois en comprenant tout (vous en avez déjà pour quelques jours) et ensuite, de mémoriser les théorèmes. Les énoncés doivent tous être connus. Ensuite, Pierre à raison, faire un bon cahier, ça aide beaucoup. Le problème est que vous n'avez que peu de chances de faire un très bon cahier si vous n'étudiez pas le cours pendant l'année (cad avant les séances) car dans le cahier, c'est surtout les justifications, les petites touches personnelles qui importent (en plus de la complétude (?) evidemment).
Ensuite, petites questions donc, portant sur des lemmes et théorèmes à réciter. Pour moi c'était Céa (chap 8), Trace (encore...), définition d'une suite orthonormée...et voila
MATH-H-402 - 14 Jun 2008
Comme a dit Pierre, 1/2h c'est très court. Ne comptez pas sur cette 1/2h pour comprendre des théoreme que vous auriez passer, j'ai essayer et ca marche pas...Q2: Compacité definir donner des exemples, expliquer precompact,sequetiellement compact, demontrer les equivalence et pour terminer parler des propriété chouette d'une application continue sur un espace compact.
Bien expliquer toute les notions utilisée
Il laisse parler pendant la presentation et aide un peu si jamais vous ne compreniez pas quelque chose. Ensuite des petites questions:
Definir espace de sobolev, norme associé, theoreme de la trace, fourier sur S', et autre dont je ne me souvient plus.
Il est vraiment sympa et n'est pas étonné que l'on ne comprenne pas son cours
MATH-H-402 - 14 Jun 2008
L'examen se passe comme il avait dit : il pose une grosse question, 1/2h de préparation avec notes, puis exposé et interrogatoire sans note.J'ai eu comme grosse question problèmes de Poisson et de Poisson-Neumann : donnez la formulation variationnelle et démontrez au passage (sic) la première inégalité de Friedrichs et l'inégalité de Poincaré + différence dans les CL. Attention : 1/2h, c'est pas très large pour pouvoir tout mettre au tableau => n'hésitez pas à omettre les justifications que vous connaissez, ca peut faire l'objet de petites questions. Pendant l'exposé, il vous demande deux-trois choses sur la question (quel est l'intérêt de machin, comment on appelle ce truc, ...).
Les questions après sont pas spécialement faciles : il faut avoir une bonne mémoire (genre théorème de l'application ouverte+conséquences, topologies faibles, ...) => si vous ne savez pas trop, n'hésitez à parler de trucs en relation (applications, exemples), il pourra vous guider grâce à ca. Si on arrive a retrouver des trucs grace à ses indications, il ne tient pas trop en compte la mémoire défaillante (même s'il fait la remarque a la fin de l'examen) car il est content si on sait de quoi on parle, si on a compris.
PS : conseil aux générations futures qui liront peut-être ceci avant le blocus : faites un bon cahier bien complet en essayant de justifier au maximum, ca permet de partir avec un bon a priori et de relever la note
MATH-H-402 - 27 Apr 2011
Fiche 25: (me rappelle plus bien la question)Donner les types de problèmes aux limites qui admettent une formulation variationnelle.
Que pourrait-on faire pour améliorer l\\'existence et l\\'unicité de la solution...
L\\'exo associé: soit le problème aux limites:
- laplacien de u = f dans oméga
n . grad u + u = 0 sur le bord de oméga
où n est la normale extérieure à omega, avec f dans L^2(oméga) et oméga dans R^n.
Fallait donner la formulation variationnelle du problème mais sans montrer que l\\'opérateur A était coercif.
qqch dans le genre ...
J\\'ai pas su répondre vu que j\\'avais pas fait tout le cours...
Après, comme en juin, il m\\'avait déjà interrogé sur les 3 premiers chapitres, il m\\'a interrogé sur les chapitres 4 à 7 que je lui ai dit que j\\'avais plus ou moins étudié.
Définition de l\\'espace de Schwartz, comment définit-on les produits de convolutions dans S et S\\'
Parler des inclusions entre D, S, S\\' et D\\'. Où situe-t-on les espaces de Lebesgue (à chaque j\\'ai justifié les inclusion, j\\'ai dit qu\\'elles étaient dense et continues mais ça j\\'ai pas dû le justifier)
Définition des espaces de Sobolev
Enfin bon ... ct mieux qu\\'en juin où j\\'ai fait 8 mais ça méritait toujours pas une cote de réussite donc ça m\\'a fait 9
MATH-H-402 - 19 Jun 2007
Fiche 22 (je pense)Donner la définition de l'espace de Lesbegue L^2 au sens de complétion de C_0 et sens de D'.
J'ai mis les définitions et le raisonement pour arriver à l'idée des distributions. J'ai continué avec le Th disant que 2 suites sont équivalentes ssi les définissent une même distribution.
Dans un sens la démo est fécile mais dans l'autre j'ai callé.
"Ooouui, ya un petit artifice de calcul dont il faut se souvenir, mais c'est pas très grave." qu'il a dit.
Il m'a demandé a quoi appartenait f.
L'exo c'était montrer que la dirac n'appartient pas à L^p par contradiction.
Une fois que c'est fini ça par dans tout les sens!!! Chapitre 1 jusque chapitre 8.
Definir Topologie? Quesqu'un espace de banach? Donner des exemple. (R^n j'ai dit. Là, il a ri et a dis que c'était vrai mais que c'était pas interessant dans ce cadre. Sinon, ya Sobolev, hilbert, L^2, l'esp des fonctions continues bornées, ...)
C'est quoi le fctionnelle de Riez? L'inégalité de Bessel? Th de Planchevel? Les TSF de Fourrier envoie les fctelles dans quels espaces? Quelles sont les hypothèses de Paley-Wiener? ... Et j'en oublie
Pour toutes ces questions, ça va très vite il veux l'idée, il m'a jamais demandé de démontrer.
La fiche c'était très bien passée mais j'ai bafouillé (qd je disais pas que je savais pas :~ )sur toutes les petites questions et j'y ai perdu pas mal de points.
Et LA question finale je crois que vous pouvez la préparer sans problème.
"Si vous pouviez choisir votre question de quoi m'auriez vous parlé?"
MATH-H-402 - 19 Jun 2007
Fiche 26:Donner la formule variationnelle des problèmes de Poisson et Poisson-Neumann, démontrer au passage les inégalités de Friedrichs et Poincaré; les CL jouent-elles le même rôle?
Exercice associé: le problème avec les CL mixtes, montrer que A est symétrique et coercif... tp7 🙁
Quand j'ai vu ça je me suis retenu de pleurer 😉 je me souvenais des principes que je me suis dans l'ENSEMBLE BORNE à écrire sans être COMPLET. Pour la SUITE, le prof est très OUVERT et il a fini par m'arracher tant bien que mal les infos pertinentes sur les espaces de travail etc, bien que je sois plutôt FERME sur ce SOUS-ESPACE de la matière du cours.
Ensuite comme d'hab il a posé pas mal de questions sur les différents chapitres (je saurais plus trop dire quoi exactement, je commençais à plonger dans un état second lol), et il propose de choisir une dernière question au choix, "qqch que tu connais ou que tu aimes" - et là c'est dur de choisir 😉 j'ai pris Plancherel qu'il m'a demandé d'interpréter et démontrer.
Tout au long de l'examen, le prof note des remarques sur vos réponses et à la fin il en tire une cote qu'il commente en étant tout gentil: il m'a cherché lui-même des excuses pour mes "approximations" qui étaient en fait de belles conneries souvent! Sur l'éternité qu'a duré l'oral, il m'a mis cent fois sur la voie d'une bonne réponse et a presque réussi à me faire avouer que "l'analyse fonctionnelle, finalement, c'est pas si compliqué" (il a quand même rigolé en voyant que j'étais pas convaincu...)
MATH-H-402 - 18 Jun 2007
Voilà, j'ai eu une question sur les espaces de Hilbert :1) définition suite orthonormée, propriétés (Bessel, Parceval, théorème de Riesz-Fischer), ensuite définir base hilbertienne, démontrer que pour tout espace de Hilbert séparable, il existe une base hibertienne, et dire ce que l'on entend, par le fait que tous les espaces de Hilbert séparablent se ressemble... par insurmontable donc ... 😉
Ensuite comment on démontre les autres points de la section (Riesz-Fischer, Bessel, ...)
2) Exercice : trouver le projecteur othogonal de C sur le sous espace vectoriel engendré par f1 et f2 des Tps
3) panorama du cours sur les autres chapitres pour encore hausser la note (après qu'il m'aie dit que tout était ok pour ce qui précédait) : exemples d'espaces de Hilbert, Paley-Wiener, lien avec la fin (discrétisation) du chapitre 8 et le chapitre sur espaces de Hilbert
Voilà
MATH-H-402 - 18 Jun 2007
Fiche 201 Enoncer et démontrer Holder et Minkowski plus les implications de ces deux inégalités : L^p est un norme et norme duale. Donner le dual de L^p.
2 Exercice comme dans le tp, démontrer que si f est dans L^p et L^q alors, f est dans L^r avec p
MATH-H-402 - 18 Jun 2007
Fiche 24 :1. Enoncer et démontrer le théorème de la trace. Ca a plutôt mal commencé, je n'avais jamais lu la démo. Je lui ai juste énoncé mais je pouvais pas faire grand chose de plus.
Définir H^-m et comment se caractérisent ses éléments? H^-m est le dual de H^m_0, ses éléments sont des combinaisons linéaires de fonctions de L^2 et de leurs dérivées < m + démonstration comme dans le cours.
2. Exercice : le premier de la séance 7 : montrer que delta = -f''+f et trouver f. Comme au TP.
Comme la première question a été très moyenne il m'a demandé de choisir une partie du cours que je connaissais et dont je voulais parler. Comme j'avais pas des masses d'idées il m'a demandé d'énoncer et démontrer le théorème de Riesz, comme dans le cours.
Ensuite, parler des normes équivalentes (définition) + ce que ça implique sur la topologie de l'espace (les topologies sur les deux normes sont identiques) + comment définir une topologie avec des normes (boules ouvertes). Ensuite "on parle des normes équivalentes beaucoup plus loin dans le cours..." ==> le chapitre 8, équivalence entre norme énergie et norme usuelle des espaces utilisés (Sobolev).
Et enfin : C_0 complété par la norme L2 est-il de Banach? La réponse n'est pas "oui" comme on pourrait le croire. Il ne l'est que pour la norme infini.
Pendant l'examen il est très sympa, si on sait comment commencer les démos il n'hésite pas à aider en cas de problème et laisse le temps de réfléchir en cas d'hésitations.
MATH-H-402 - 17 Jun 2007
fiche 16:-Définir la transformée de Fourrier dans S' et écrire ses principales propriétés et les démontrer.
-Enoncer le théorème de Paley-Wiener et le démontrer.
-Exercice: Calculer la TF de vp(1/x)
Le prof est super sympa, il aide a retrouver les choses oubliées.
Il demande a connaitre a fond les notions de bases, les definitions, les hypothèses de calcul et les astuces utilisées dans les démonstrations.
Un conseil: ne pas hesiter a étaler ses connaissances sur le cours, mais si ca n'a pas trop a voir avec la question, ce sera toujours apprécié par le prof.
MATH-H-402 - 16 Jun 2007
Alors j'ai pioché la fiche 22 mais je me rappelle plus exactement de la question ... c'est un truc genre ...définir quand est-ce qu'on peut multiplier deux éléments d'espaces de Lebesgue + un truc (avec preuve) du genre énoncer les propriétés de lissage et de dérivation ...
J'ai essayé de mémoriser la question mais désolé j'y ai pas arrivé ...
Le petit exercice c'était du style:
soit f appartenant à l'intersection de L^p et L^q (1< p < q < infini) , montrer que f appartient à L^r avec r in [p,q].
J'crois qu'il fallait aussi montrer une égalité de norme genre que la norme r de f = (norme p)^alpha * (norme q)^(1-alpha) avec alpha relié à p,q,r par une certaine relation...
Il m'a dit que ça sortait droit des tp mais j'ai pas été vérifier ...
sinon ben comme j'y comprenais absolument rien, pendant la demi-heure qu'il m'a laissé tout seul pour plancher sur la question, je me suis contenté de définir ce qu'était que l'espace de Lebesgue L^2 en parlant de la norme, de l'espace de fonction qu'on complète vis-à-vis de la norme, de comment on définissait la limite d'une suite de fonctions prises comme distributions.
Bref j'ai pédalé dans la semoule ... Mais il avait pas l'air spécialement outré, il est assez sympa. Il a posé quelques questions pour que je précise un peu ce que je disais même si ça n'avait plutôt rien à voir avec l'objet initial de la question ...
Il m'a ensuite demandé ce que je pouvais dire d'autre sur les espaces de Lebesgue et là j'ai honteusement avoué que je n'avais en fait étudié que les trois premiers chapitres et que je venais principalement pour voir comment se déroulait l'examen, mais que je ne comptais pas spécialement le réussir...
Et là ben, gentillement, il a commencé à m'interroger sur les 3 premiers chapitres... toute une flopée de questions...
De quel type d'espace sont les espaces de Lebesgue ? Des espace de Hilbert
Particularité de l'espace dual d'un espace de Hilbert ? Théorème de représentation de Riesz -> H et H' sont isométriques
Qu'est-ce qu'une suite orthonormée ? Qu'est-ce qu'elles ont de spécial ? On peut les utiliser comme base de l'espace si la suite est complète (+définition de complète). Ecrire un tel développement. Comment sait-on que ce développement en série converge ? Inégalité de Bessel.
Définir des normes équivalentes. Cas particulier d'espaces où toutes les normes sont équivalents ? espaces finidimensionnels
Enoncer le théorème du graphe fermé + démonstration en gros, les grandes étapes. Là j'ai coincé un peu. Il m'a aidé, il m'a rappelé l'artifice de calcul à utiliser (définir une autre norme, appliquer le théorème de l'application ouverte à l'identité entre les deux espaces de Banach)...
Bref, ça s'est pas trop mal passé, il est bien du genre à aider quand ça coince surtout pour la démonstrations où je savais plus trop comment continuer...
Bon j'ai eu 8 mais ça c'est un peu parce que j'ai nié la moitié intéressante du cours ...
MATH-H-402 - 16 Jun 2007
salut les copines, voici mes question:definir un espace se banach + donner les exemples, puis théorème du graphe fermé et ouvert ( à ennoncer et demontrer) puis que conclure sur les application bijective à partir de ces théorème. et poue exercice je ne sais plus car j'ai pas etidier cette partie du cours.
je savais à peine ennocer les théorème... il m'a questionné pendant plus d'une heure sur tout et m'a fait demontrer les deux truc...je crois qu'il faut bien comprendre et surtout ne pas stresser car il est hyper sympa. l'examen se passe snas stresse et il veut vraiment voir ce qu'on a retenue de ce cours. honnetement c'est le seul chapitre du cours que j'ai pas etudié(bon j'avoue le 1 et le deux non plus:)... ) mais je me suis qd meme en tirer avec genre 10 ou 11. j'ai un meme pas rempli un tableau et j'ai pas mal merdé durant l'intterogatoire. si vous avez un peu de chance c'est tout à fait possible de faire un 15 dans ce cours.
MATH-H-402 - 16 Jun 2007
Toutes les propriétés des espaces L2.D < S < L2 < S' < D'
et plancherel.
+ définir tout ce qu'on utilise
+ démontrer les propriétés.
puis parler des autres espaces L2 (stieltjes et sous-espaces)
ne pas hésiter a faire des liens avec le reste du cours.
Et d'utiliser sa méthode pour construire les réponces.
Puis un petit exercice : démontrer que delta n'est pas dans un espace Lp pour p>1
en utilisant l'inegalité de jes ais plus qui...
Il te laisse un certain temps (il dit 20 min, mais ça m'a paru plutot une éternité) pour préparer tes réponces.
Il t'aide quand tu t'embrouille...
Bonne chance.
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